9、数值技术和应用：掌握求根与数值积分的艺术

数值技术和应用：掌握求根与数值积分的艺术

1 解线性方程组

在工程和科学研究中，解线性方程组是一项基本任务。线性方程组是指未知数的最高次数为1的方程组。例如，对于两个未知数 (x) 和 (y) 的线性方程，形式为 (ax + by = k)，其中 (a)、(b) 和 (k) 是已知常数，且 (a) 和 (b) 不同时为零。

解线性方程组的一个经典方法是使用克拉默法则（Cramer’s Rule）。克拉默法则通过计算行列式来求解未知数。对于两个未知数的线性方程组，可以用以下公式求解：

[
x = \frac{\begin{vmatrix} k_1 & b_1 \ k_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}, \quad
y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & k_1 \ a_2 & k_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}
]

虽然克拉默法则简单直观，但对于较大规模的线性方程组，计算行列式的效率较低，因此在实际应用中，通常采用高斯消元法或其他数值方法。

2 求根

求根问题是指找到使给定函数 (y = f(x)) 等于零的 (x) 值。求根方法有很多种，常用的包括固定增量迭代法、二分法和割线法。

2.1 固定增量迭代法

固定增量迭代法通过在一个范围内逐