磁轴承学习笔记 第二部分：磁轴承原理

目录

• 1. 磁轴承的定义、组成与工作原理
• 2. 简单磁轴承的受力分析
  • 2.1 机械弹簧系统的分析
  • 2.2 单自由度磁轴承系统的分析
• 3. 简单主动式磁轴承控制

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磁轴承原理

磁轴承的定义、组成与工作原理

• 定义：主动磁悬浮轴承(Active Magnetic Bearing)，简称AMB或磁轴承，通过受控磁场力将转子和轴承分开,实现无机械接触的新型高性能轴承。
• 工作原理：通过对电磁铁实时动态控制，产生受控的非接触磁场力，实现转子的悬浮。

• 基本构成：
  • 间隙传感器：实时测量转子和电磁铁之间的气隙距离（当前位置）。
  • 控制器（微处理器）：对比「目标悬浮位置」和「实际位置」，算出偏差，给出控制信号。
  • 功率放大器：把控制器弱电控制信号，转换成大电流驱动线圈。
  • 电磁铁执行器（线圈 + 定子铁芯）：控制电流形成电磁场，产生电磁力维持转子悬浮。

关于磁轴承的基本认知：

• 磁轴承的核心任务：约束转子平移自由度，保持转轴悬浮在中心、不蹭定子。磁轴承不用管转子怎么转，只需要将转子支撑起来。转子绕自身轴线的旋转，由外置电机驱动，不属于磁轴承的控制范畴。转子高速旋转时，磁轴承只持续修正偏移。

• 转子的导磁性：转子材料必须具备铁磁性（导磁）。电磁铁依靠磁吸力拉住转子；非导磁材料（铝、铜、不锈钢 304）无法形成磁路，普通电磁铁吸不住。

• 磁轴承控制原理：

  • 转子受力来源：单个电磁铁只能对转子产生单向吸力，不能产生斥力（只拉不推）。单侧电磁铁系统天生不稳定。因此，工程上对置布置电磁铁，即上下一对、左右一对，形成协同控制。
    比如：上下一组电磁铁：上磁体向上吸、下磁体向下吸，两者吸力博弈，把转子稳定平衡在中间位置。

  • 吸力的定性规律：

    $$电磁吸力\propto \frac{电{流}^2}{气隙距{离}^2}$$

    电流越大，吸力越强；气隙越小（离铁芯越近），吸力急剧变大。转子一旦靠近一侧铁芯，吸力会自发增大，更容易吸过去碰撞，这也是磁轴承天然不稳定的根源。必须依靠控制器实时动态调节电流稳住位置。

  • 磁场方向与受力：
    线圈通电后，定子铁芯产生磁场，磁场穿过空气间隙，进入转子铁芯形成闭合磁路。
    磁场路径：定子铁芯磁极 → 气隙 → 转子 → 另一侧气隙 → 定子回路。转子受力方向永远垂直于磁极表面，指向电磁铁定子铁芯（吸引力）。

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磁轴承调节原理：

调节对象： 成对电磁铁线圈的驱动电流
物理链路： 位置偏差 → 控制器计算 → 功放改变线圈电流 → 磁场强弱改变 → 电磁吸力改变 → 合力修正转子位置。

举例： 竖直方向一对上下电磁铁，目标平衡位置在正中间。当转子意外向下偏移，离下磁极更近，远离上磁极时：

1. 间隙传感器实时采集气隙信号，识别：转子向下偏了；
2. 控制器对比设定基准位置，得到位置负偏差；
3. 控制器输出控制指令给功放：
   ✅ 上调上方电磁铁线圈电流 → 上电磁铁吸力变大，向上拉转子✅ 下调下方电磁铁线圈电流 → 下电磁铁吸力减小，向下的拉力变弱
4. 磁场变化：上线圈磁通增大，吸力上升；下线圈磁通减小，吸力下降；
5. 合力向上，把转子拉回中心目标位置；转子回到中心后，控制器自动动态平衡两侧电流，维持悬浮。

补充控制方案：
① 差分控制（最常用）：一对对置电磁铁，一个电流增加、另一个同步减小；
② 偏置电流方案：线圈始终通基础偏置电流，在基础电流上增减，提升响应速度。

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多极径向磁轴承拓展
基础模型是上下/左右两极；多极结构就是沿圆周布置多组对置磁极，独立控制各组线圈电流，可以实现更精细的力分布，抑制转子振动。

简单磁轴承的受力分析

机械弹簧系统的分析

为了更好的理解单自由度磁轴承系统，首先来探讨一个机械弹簧系统，方便后续类比学习。

机械刚度的定义：

$$k=-\frac{\text{d}f}{\text{d}x}$$

其中$x$表示物体距离地面的位移，$f$表示弹簧产生的支承力。机械刚度是一个通用的定义，不只局限于弹簧，所有的机械支承都可使用。

为什么机械刚度的定义中有负号？

为了使正常弹簧的刚度为正数，人为将定义式中增加了负号。为了详细解释，我们可以从中学的胡克定律推导到机械刚度。

还是看上面的插图，定义向上为正方向。如果把小球向上托，其位移$x>0$，弹簧的弹力会将其向下推，此时弹簧的弹力$F$向下，$F<0$。反之，将弹簧向下拽，其位移$x<0$，弹簧弹力会将其向上拉，此时弹簧弹力向上，$F>0$。由此可见，弹簧弹力方向与位移方向永远相反。因此，中学的胡克定律可以写成：

$$F=-kx$$

这里的负号不是人为要求的，而是由弹力方向决定的，恢复力永远指向平衡点。

然而，真实的机械系统刚度通常不是线性的，插图右侧的刚度图像往往是一条曲线而不是直线，为了更好的描述刚度，$k$就变成了导数形式$\frac{\text{d}F}{\text{d}x}$。虽然$k$形式变了，但是“弹簧恢复力随着位移的增加而减小”的规律没有变，即弹簧刚度曲线的图像没变，所以$\frac{\text{d}F}{\text{d}x}<0$，弹簧刚度曲线的导数一定为负。

在实际工程中，人们希望恢复能力越强刚度越大，于是定义$k=-\frac{\text{d}f}{\text{d}x}$，这样正常弹簧的刚度就是正的，人们看到正刚度们就知道是恢复。如果没有这个符号，正常弹簧的刚度就变成了负数，不符合人的直觉。

机械弹簧系统在不同位置处的受力情况：

• 在平衡位置 $x_0$ 处，弹簧的拉力 $f$ 恰好等于物体重力 $mg$ ，该情况对应刚到曲线图中的 $(x_0,mg)$ 点；

• 物体向上扰动， $x$ 增加，弹簧被压缩，弹簧拉力 $f$ 减小，此时重力大于拉力，物体将会向下移动；

• 物体向下扰动， $x$ 减小，弹簧被拉长，弹簧拉力 $f$ 增大，此时拉力大于重力，物体将会向上移动。

对于这个机械弹簧系统，可以有一种直观感受：当物体偏离平衡位置时，弹簧总能产生一个将其拽回平衡位置的恢复力。支承力$f$随着位移的增加而减小，$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}<0$，$k=-\frac{\text{d}f}{\text{d}x}>0$，该系统是一个正刚度系统。

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单自由度磁轴承系统的分析

在固定电流和固定气隙下，磁场力与转子位置、磁场力与线圈电流的关系如下图所示。

• 磁场力与转子位置关系的分析

先来理解$f-x$图像。当电磁铁中的线圈电流恒定不变时，转子越靠近电磁铁，磁场力越强。（现实中，你把一颗铁钉推向磁铁，当铁钉与磁铁间的距离足够近时，其会瞬间飞向磁铁并紧紧地吸在磁铁上。）

这种关系不是线性的。气隙$s$可以看作是位移$x$的函数：$s=s(x)$，当$x$增加时，气隙$s$减小。在转子铁心没有达到磁饱和的情况下，磁场力$f$与气隙$s$的二次方成反比。当铁心逐渐达到磁饱和时，磁感应强度$B$不再增加，磁场力$f$增势放缓，直到转子达到几何位置极限，磁场力$f$达到最大值。

下面分析单自由度磁轴承系统在不同位置处的受力情况：

• 在平衡位置 $x_0$ 处，磁场力 $f$ 恰好等于转子重力 $mg$ ；

• 转子向上扰动， $x$ 增加，气隙 $s$ 减小，磁场吸力 $f$ 增加，此时磁场力大于重力，转子将会进一步向上移动；

• 转子向下扰动， $x$ 减小，气隙 $s$ 增加，磁场吸力 $f$ 减小，此时重力大于磁场力，转子将会进一步向下移动；

与上述机械弹簧系统不同的是，当转子偏离平衡位置时，力会推着转子进一步偏离，扰动之后会发生正反馈，偏离会被不断放大，不会自动回到平衡点。磁力$f$随着位移的增加而增加，$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}>0$，$k=-\frac{\text{d}f}{\text{d}x}<0$，该系统是一个负刚度系统。

在线性近似、无控制输入的情况下，工作点的开环机械刚度的符号决定了平衡位置的稳定性，正刚度系统的$k>0$，是稳定的；负刚度系统的$k<0$，是不稳定的；

• 磁场力与线圈电流关系的分析

$f-i$图像显示了电流和磁力的关系，为我们提供了一种通过控制电流进而控制磁场力的手段。当在不饱和区间内，磁场力与线圈电流的二次方成正比。当转子铁心磁饱和后，磁场力增势放缓。整体来看，电流越大，磁场力越大。

虽由上述分析可知，单自由度磁轴承系统是不稳定的，但我们可以根据转子的位置人为干预线圈电流，使得整个系统达到稳定。不饱和区$f\propto i^2$的规律就是实现控制的物理基础。转子偏高时，就减小电流，降低吸力，使得转子回落；转子偏低时，就增加电流，提升吸力，使转子回升。

简单主动式磁轴承控制

要使得这个不稳定的开环磁轴承系统变得稳定，首先构建如下图所示的闭环控制回路。该控制回路需要使用合适的控制器，本质就是要寻找合适的控制电流信号，即$i(x)$应该是什么。

为了简化模型，只看偏离平衡点之后的变化量，隐去工作点的常量（比如转子所受的重力$mg$、转子平衡时线圈中的偏置电流$i_0$和距地位移$x_0$），本节会建立新的坐标系，定义新的变量$x,i,f$ 。为了避免混淆，上文中原来的变量用下标“旧”表示。

将新的坐标系原点建立在就坐标系中的平衡位置，即$f-x$图像中新坐标系原点建立在$(x_0,mg)$处，$f-i$图像中新坐标系原点建立在$(i_0,mg)$处。引入以下几个新的变量：

名称	符号	定义	物理意义
位移扰动量	$x$	$x=x_{旧}-x_0$	转子相对于平衡位置的偏移量。 $x>0$：转子向电磁铁靠近； $x<0$：转子远离电磁铁； $x=0$：转子位于平衡点处。
电流扰动量	$i$	$i=i_{旧}-i_0$	线圈电流相对于偏置电流$i_0$的扰动分量。 $i>0$：电流比偏置电流更大； $i<0$：电流比偏置电流更小。
合力扰动量	$f$	$f=f_{旧}-mg$	合力扰动 = 实际电磁吸力 − 转子重力。 平衡点$x=0,i=0$时$f=0$，电磁力刚好抵消重力。 $f>0$：向上净拉力；$f<0$：向下净力。

其次，将系统的$f-x$、$f-i$特性做线性化处理。虽然系统的真实特性是非线性的，但是用过一个一般的线性控制策略，磁轴承系统仍然可以获得较好的控制效果。以新坐标系的原点（即系统的平衡位置）处为基准导出线性化的$f-x$、$f-i$关系，如下式和下图所示：

$$f(x,i)=-k_{s}x+k_{i}i$$

关于式$f(x,i)=-k_{s}x+k_{i}i$的解析:

• 为什么要平移坐标系/引入新的变量：
  控制系统只需要处理扰动，把重力、偏置电流这些常量全部消掉，只看 “偏离平衡点之后的变化量”，公式会大幅简化。

• $k_s$ 、$k_i$分别是什么：

  • $k_s$ 是电磁铁本身的开环机械刚度，其定义前文已经提及： $k_s=-\frac{\text{d}{f}_{旧}}{\text{d}x}{|}_{平衡点}$ ，其表示在平衡点处机械刚度特性曲线导数的相反数。

  • $k_i$ 是电流变化带来的力增益，也称为电流刚度，单位是 $\text{N}/\text{A}$ ： $k_i=\frac{\text{d}{f}_{旧}}{\text{d}i}{|}_{平衡点}$ ，其表示平衡点处电流变化 1A 带来多大的力变化。

  二者定义不同，这也解释了为什么$k_{s}x$项带负号，而$k_{i}i$项不带。

• 为什么合力$f(x,i)=f(x)+f(i)$，只是两个项的简单相加：
  真实情况下，$f(x)+f(i)$无法直接相加得到$f(x,i)$。倘若改变了一点电流，磁力变化，转子加速，转子的位移也会相应发生变化。真实的电磁铁非线性方程的形式实际上是$f_{旧}\propto \frac{i_{旧}^2}{s^2(x_{旧})}$ ，$x$和$i$是相互耦合的。这里直接写成了加法形式，实际上是有一个微小扰动假设的前提。工作点$(x_0,i_0)$即新坐标系下的$(0,0)$点处的扰动只会带来一点点的变化$\Delta x,\Delta i$。由高等数学的知识我们可以知道，任何光滑的函数都可以进行泰勒展开。对磁场力进行泰勒展开可得：

  $$f_{旧}(x_{旧},i_{旧})=f_{旧0}+\frac{\partial f_{旧}}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f_{旧}}{\partial i}\Delta i+\underset{高阶项}{\underbrace{\frac{{\partial }^2{f}_{旧}}{\partial x^2}\Delta x^2+\frac{{\partial }^2{f}_{旧}}{\partial x\partial i}\Delta x\Delta i+\cdots }}$$

  由于扰动很小，高阶项可以忽略，磁场力近似为：

  $$f_{旧}(x_{旧},i_{旧})=f_{旧0}+\frac{\partial f_{旧}}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f_{旧}}{\partial i}\Delta i$$

  将坐标变换$f=f_{旧}-mg$，$f_{旧0}=f_{旧}(x_0,i_0)=mg$，$\Delta x=x$，$\Delta i=i$，$\frac{\partial f_{旧}}{\partial x}=-k_s$，$\frac{\partial f_{旧}}{\partial i}=k_i$代入上式化简即可得：

  $$f=-k_{s}x+k_{i}i$$

  相加仅仅是微小偏移下线性近似，只有转子在平衡点附近扰动一点点才成立。一旦扰动很大，离开工作点，或者进入磁饱和，叠加关系直接失效，耦合效应就会开始显现。

我们希望磁轴承系统拥有稳定弹簧特性，控制回路需要模拟出弹簧和阻尼（本节第一张图的中间机械弹簧系统）。因此，控制系统必须提供一个恢复力，即一个类似于机械弹簧的恢复力。另外，为衰减工作点附近的振动，控制力中还必须包含阻尼力成分。

仍然参考最经典系统进行类比。假设磁轴承系统就是一个质量-弹簧-阻尼系统，引入线性刚度系数$k$和阻尼系数$d$，则轴承合力$f$的表达式为：

$$f\stackrel{希望}{=}-kx-d\dot{x}$$

关于式$f=-kx-d\dot{x}$的解析：

• $-kx-d\dot{x}$ 又是哪冒出来的？
  该式源自于简单的力学合成。基于“控制力包含弹性力和阻尼力”的假设，轴承恢复力主要有两部分构成：

  • 弹力： $f_s=-kx$

  • 阻尼力： $f_d=-d\dot{x}$ ——实验发现阻尼力近似于速度成正比

  于是轴承合力（总恢复力）就是$f=f_s+f_d=-kx-d\dot{x}$ 。

• 和标准运动方程$f(t)=m\ddot{x}(t)+d\dot{x}(t)+kx(t)$ 是一个东西吗？
  二者并不完全相同，但本质上都源于受力分析。$f=-kx-d\dot{x}$表示弹簧和阻尼施加给质量块的支承力（恢复力），而$f(t)=m\ddot{x}(t)+d\dot{x}(t)+kx(t)$表示在外部激励力$f(t)$下系统的受力状态。
  设外力$f(t)$作用在质量块上，于是质量块受到三种力，分别是外力$f(t)$，弹力$-kx$，阻尼$-d\dot{x}$。质量块所受的合力$\sum F=f(t)-k(x)-d\dot{x}$。根据牛顿第二定律，$\sum F=m\ddot{x}=f(t)-k(x)-d\dot{x}$，因此可以得到$f(t)=m\ddot{x}(t)+d\dot{x}(t)+kx(t)$。

现在我们知道了电磁铁原生力$f=-k_{s}x+k_{i}i$了，也知道这个力应该表现成$f=-kx-d\dot{x}$了。下面我们直接联立这两个方程，使闭环磁轴承表现得像一个质量-弹簧-阻尼系统，即可得到控制律$i(x,\dot{x})$：

$$i(x)=-\frac{k-k_s}{k_i}x-\frac{d}{k_i}\dot{x}$$

这就是PD控制率（PD = Proportional（比例） + Derivative（微分））：

$$i=K_{p}x+K_d\dot{x}$$

其中，比例项$K_p$处理位移，微分项$K_d$处理速度。控制器实时调节电流$i$，用$k_{i}i$这一份可控的电磁力，抵消电磁铁原生的负刚度项$-k_{s}x$，再额外造出虚拟弹簧$-kx$、虚拟阻尼$-d\dot{x}$，实现稳定。

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声明：博主是初学者，本文笔记来源于对教材、网上资料、AI对话等内容的总结，内容仅供参考。个人水平有限，如有错误欢迎指出。本文插图均为原创。
主要参考书籍：施威策尔 G, 马伦 E H. 磁悬浮轴承 —— 理论、设计及旋转机械应用 [M]. 徐旸，张剀，赵雷，译。北京：机械工业出版社，2012.