离散数学知识点及错题集合 第一章

因为感觉内容比较多所以还是分开来写了。

第1章

1.1 命题逻辑

1.1.2 命题

命题：一个陈述句，必须可以判断真假。
例如：多伦多是加拿大首都。
不是命题有以下类型：
1.问句
2.祈使句
3.有变量等不确定因素的句子。

命题中的变量用字母表示，叫做命题变元。
【注意：命题变元代表的是整个命题，而不是命题中出现的字母】
真值表示命题的真假。

复合命题

否命题：非p。
合取：p∧q，p和q都为真时p∧q为真，否则为假。
析取：p∨q，p和q都为假时p∨q为假，否则为真。
异或：p⊕q，p和q中只有一个为真时为真，否则为假。

1.1.3 条件语句

p和q为两命题，p称为假设（前提），q称为（结论）。
p→q为条件语句，条件语句也是命题，用语言表达为“如果p，则q”，条件语句也称为p→q也可读作p蕴含q。
p为真，q为假时，命题p→q为假，否则为真。

逆命题、逆否命题与反命题

设p和q为两命题，原命题为p→q
反命题：非p→非q
逆命题：q→p
逆否命题：非q→非p
当两个复合命题总是具有相同真值时，我们称它们是等价的。
所以逆否命题和原命题等价，逆命题和反命题等价。

双条件语句

p和q为两命题，双条件语句p↔q是命题“p当且仅当q”，也称为双向蕴含。
当p和q有相同真值的时候，该命题为真，否则为假。

1.1.5 逻辑运算的优先级

非→合取∧→析取∨→单向蕴含（→）→双向蕴含（↔）

1.1.6 逻辑运算和位运算

布尔变量：该变量的值只可能是真或者假。
位运算：真值表中的T和F用1和0替代，逻辑运算符∧、∨、⊕用AND、OR、XOR替代。
位串：0位或多位的二进制序列。长度就是它所含位的数目。

1.2 命题逻辑的应用

1.2.2 语句翻译

这个我真的不会……
以下关键词可以作为p→q翻译
如果p，（则）q。
p蕴含q。
p仅当q。
p是q的充分条件。 q的充分条件是p。
q每当p。
q是p的必要条件。 p的必要条件是q。
q除非非p。

1.2.3 系统规范说明

系统规范说明应该是一直的，也就是说，系统规范说明不应该包含可能导致矛盾的想混冲突的需求。

1.2.5 逻辑谜题

斯马亚：骑士和无赖的问题

一个岛上居住着两类人——骑士和无赖，骑士只说真话，无赖只说假话。你遇见A和B，如果A说“B是骑士”，而B说“我们两个是两类人”，判断A和B是什么人。
首先先将题目转化为命题：
p：A是骑士。
q：B是骑士。
（都是无赖也可以，两个相同比较好判别）
然后把两个人说的话也转化为命题
a：q真。
b：(p∧非q)∨(q∧非p)为真。
考虑第一种情况：p真
则q，a，b都为真，但实际上b为假，矛盾，所以不成立。
考虑第二种情况：p假
则q假，a假，b假，b假，成立。
所以A是无赖，B也是无赖。

泥巴孩子谜题

父亲让男孩和女孩玩耍，两个孩子都在额头上沾了泥。回来后，父亲说“你们当中至少有一个人额头上有泥”，然后要求孩子们用“是”或“否”回答问题：“你知道你额头上有你吗？"父亲问两遍，孩子会怎么回答？假设每个孩子看得到对方头上有没有泥，但是不知道自己有没有。
同样的，把题目转化为命题：
s：男孩头上有泥。
d：女孩头上有泥。
s∨d：至少有一个人头上有泥。
有s∨d为真；
第一次两个孩子都不知道自己头上有没有泥，所以都回答否，但是他们知道肯定有一个人头上有泥，也就是说，儿子知道d为真，女儿知道s为真。
第二次两个孩子都会回答是，因为女儿由儿子答否可以得出d是真的，儿子由女儿答否可以得