因为感觉内容比较多所以还是分开来写了。
第1章
1.1 命题逻辑
1.1.2 命题
命题:一个陈述句,必须可以判断真假。
例如:多伦多是加拿大首都。
不是命题有以下类型:
1.问句
2.祈使句
3.有变量等不确定因素的句子。
命题中的变量用字母表示,叫做命题变元。
【注意:命题变元代表的是整个命题,而不是命题中出现的字母】
真值表示命题的真假。
复合命题
否命题:非p。
合取:p∧q,p和q都为真时p∧q为真,否则为假。
析取:p∨q,p和q都为假时p∨q为假,否则为真。
异或:p⊕q,p和q中只有一个为真时为真,否则为假。
1.1.3 条件语句
p和q为两命题,p称为假设(前提),q称为(结论)。
p→q为条件语句,条件语句也是命题,用语言表达为“如果p,则q”,条件语句也称为p→q也可读作p蕴含q。
p为真,q为假时,命题p→q为假,否则为真。
逆命题、逆否命题与反命题
设p和q为两命题,原命题为p→q
反命题:非p→非q
逆命题:q→p
逆否命题:非q→非p
当两个复合命题总是具有相同真值时,我们称它们是等价的。
所以逆否命题和原命题等价,逆命题和反命题等价。
双条件语句
p和q为两命题,双条件语句p↔q是命题“p当且仅当q”,也称为双向蕴含。
当p和q有相同真值的时候,该命题为真,否则为假。
1.1.5 逻辑运算的优先级
非→合取∧→析取∨→单向蕴含(→)→双向蕴含(↔)
1.1.6 逻辑运算和位运算
布尔变量:该变量的值只可能是真或者假。
位运算:真值表中的T和F用1和0替代,逻辑运算符∧、∨、⊕用AND、OR、XOR替代。
位串:0位或多位的二进制序列。长度就是它所含位的数目。
1.2 命题逻辑的应用
1.2.2 语句翻译
这个我真的不会……
以下关键词可以作为p→q翻译
如果p,(则)q。
p蕴含q。
p仅当q。
p是q的充分条件。 q的充分条件是p。
q每当p。
q是p的必要条件。 p的必要条件是q。
q除非非p。
1.2.3 系统规范说明
系统规范说明应该是一直的,也就是说,系统规范说明不应该包含可能导致矛盾的想混冲突的需求。
1.2.5 逻辑谜题
斯马亚:骑士和无赖的问题
一个岛上居住着两类人——骑士和无赖,骑士只说真话,无赖只说假话。你遇见A和B,如果A说“B是骑士”,而B说“我们两个是两类人”,判断A和B是什么人。
首先先将题目转化为命题:
p:A是骑士。
q:B是骑士。
(都是无赖也可以,两个相同比较好判别)
然后把两个人说的话也转化为命题
a:q真。
b:(p∧非q)∨(q∧非p)为真。
考虑第一种情况:p真
则q,a,b都为真,但实际上b为假,矛盾,所以不成立。
考虑第二种情况:p假
则q假,a假,b假,b假,成立。
所以A是无赖,B也是无赖。
泥巴孩子谜题
父亲让男孩和女孩玩耍,两个孩子都在额头上沾了泥。回来后,父亲说“你们当中至少有一个人额头上有泥”,然后要求孩子们用“是”或“否”回答问题:“你知道你额头上有你吗?"父亲问两遍,孩子会怎么回答?假设每个孩子看得到对方头上有没有泥,但是不知道自己有没有。
同样的,把题目转化为命题:
s:男孩头上有泥。
d:女孩头上有泥。
s∨d:至少有一个人头上有泥。
有s∨d为真;
第一次两个孩子都不知道自己头上有没有泥,所以都回答否,但是他们知道肯定有一个人头上有泥,也就是说,儿子知道d为真,女儿知道s为真。
第二次两个孩子都会回答是,因为女儿由儿子答否可以得出d是真的,儿子由女儿答否可以得