【2013国家队互测】家族(family)

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本文介绍了一种利用并查集优化求解区间最小值问题的方法，通过枚举上界避免了每次都需要重建并查集的过程，显著提高了算法效率。

题目描述

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输入

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样例

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思路

答案需满足两个条件：
1.sum>=k
2.R-L最小

满足1的不一定满足2，但是满足2的一定要满足1
所以我们考虑枚举L和R，再检验是否满足sum>=k

最暴力的做法是：
将边按照频率的大小排序，枚举一维下界，枚举一维上界，将频率在区间内的边的两端点合并，通过并查集维护每个连通块的大小，效率是O( $m^3$ )，不能通过所有数据点。

考虑枚举上界的情况：
由于下界不变，枚举上界的时候只是从原有的并查集中合并新的元素，设合并的两集合为A和B，则合并时的贡献为val[size[A+B]]-val[size[A]]-val[size[B]]，可以O(1)更新，因此枚举上界的时候可以不用重置并查集，这样一来效率变为O( $m^2$ )，得解。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN=1010;
const int MAXM=5010;
const int INF=0x7FFFFFFF;

int n,m,k,s[MAXN],t[MAXN],f[MAXN],fa[MAXN],siz[MAXN],l[MAXN],ans=INF;

struct edge{int to,from,f,id;}e[MAXM];

int getint(){
    int v=0; char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar())); v=ch-48;
    while(isdigit(ch=getchar())) v=v*10+ch-48; return v;
}

bool cmp(edge a,edge b){
    return a.f<b.f || a.f==b.f && a.id<b.id;
}

int find(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}

void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i,siz[i]=1;
}

int main(){
    n=getint(); m=getint(); k=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++) l[i]=getint();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        e[i].from=getint(),e[i].to=getint(),e[i].f=getint(),e[i].id=i;
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int p=i,sum=n*l[1]; init();
        for(int j=i;j<=m;j++){
            for(;p<=j;p++){
                int x=e[p].from,y=e[p].to;
                if(find(x)==find(y)) continue;
                sum-=l[siz[find(x)]]+l[siz[find(y)]];
                siz[find(y)]+=siz[find(x)]; fa[find(x)]=find(y);
                sum+=l[siz[find(y)]];
                if(sum>=k) ans=min(ans,e[j].f-e[i].f);
            }
        }
    }
    if(ans==INF) puts("T_T");
    else printf("%d\n",ans);
    return 0;
}