最小二乘法

最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。

----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》

1 日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

之所以出现不同的值可能因为：

• 不同厂家的尺子的生产精度不同
• 尺子材质不同，热胀冷缩不一样
• 测量的时候心情起伏不定
• …
  总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：
  $\overline{x}=\frac{10.2+10.3+9.8+9.9+9.8}{5}=10$
  日常中就是这么使用的。可是作为很事’er的数学爱好者，自然要想下：
• 这样做有道理吗？
• 用调和平均数行不行？
• 用中位数行不行？
• 用几何平均数行不行？

2 最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。
首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作$y_i$：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作y：

每个点都向y做垂线，垂线的长度就是$|y-y_i|$，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：$|y-y_i|\to (y-y_i{)}^2$
总的误差的平方就是：$ϵ=\sum (y-y_i{)}^2$
因为y是猜测的，所以可以不断变换：

自然，总的误差$ϵ$也是在不断变化的。

法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的y就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动（关于这点可以看下“如何理解无偏估计？”）。
这就是最小二乘法，即：

这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。

3 推广

算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。
比如温度与冰淇淋的销量：

看上去像是某种线性关系：

可以假设这种线性关系为：
$f(x)=ax+b$
通过最小二乘法的思想：

上图的i,x,y分别为：


也就是这根直线：

其实，还可以假设：
￥f(x)=ax^2+bx+c￥
在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出a,b,c，得到下面这根红色的二次曲线：

同一组数据，选择不同的f(x)，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线（出处）：

不同的数据，更可以选择不同的f(x)，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：

f(x)也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。

4 最小二乘法与正态分布

我们对勒让德的猜测，即最小二乘法，仍然抱有怀疑，万一这个猜测是错误的怎么办？

数学王子高斯（1777－1855）也像我们一样心存怀疑。
高斯换了一个思考框架，通过概率统计那一套来思考。
让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想，通过测量得到了这些值：





也就是说，如果误差的分布是正态分布，那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。
那么误差的分布是正态分布吗？
我们相信，误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的，比如之前提到的：

• 不同厂家的尺子的生产精度不同
• 尺子材质不同，热胀冷缩不一样
• 测量的时候心情起伏不定
• …
  那么根据中心极限定理（参考“为什么正态分布如此常见？”），误差的分布就应该是正态分布。
  因为高斯的努力，才真正奠定了最小二乘法的重要地位。