抽样与分布

1. 什么是抽样？

在统计学中，我们通常无法获取整个总体的数据（比如全国所有人的身高），所以我们从总体中随机抽取一部分数据，称为 样本，然后用样本来推测总体特征。

2. 常见的抽样方法

不同的抽样方式会影响数据的代表性和可靠性，主要有：

• 简单随机抽样：每个个体都有相同的被选中机会（如抽签、随机数）。
• 系统抽样：按固定间隔选择样本（如每隔 10 人选 1 人）。
• 分层抽样：先将总体按某个特征分层（如性别、年龄段），然后在每层内随机抽样。
• 整群抽样：将总体分成多个群组，随机抽取几个群组作为样本（如抽取 5 所学校的所有学生）。

3. 抽样分布

当我们从总体中抽取多个样本时，每个样本的统计量（如均值）都会有所不同。这些样本统计量的分布就叫 抽样分布。

• 中心极限定理：
  当样本足够大时（通常 n≥30），不管总体是什么分布，样本均值的分布都会趋近于 正态分布。这为推断统计提供了数学基础。

4. 抽样分布的关键统计量

在抽样分布中，有几个重要的统计量：

（1）样本均值的分布

如果我们不断从总体中抽取样本，并计算每个样本的均值，这些均值会形成一个分布，即 样本均值的抽样分布。

• 均值：样本均值的期望值等于总体均值，即                                       
• 标准误：衡量样本均值的波动性，计算公式为：                                                                                                                                     σ是总体标准差，n是样本大小。样本越大，标准误越小，说明样本均值更接近总体均值。

（2）样本比例的分布

如果研究的是某个特征的比例（如某城市支持某政策的人的比例），则样本比例的抽样分布也遵循正态分布，其标准误计算如下：

其中，p是总体比例，n是样本大小。

5. 抽样分布的应用

抽样分布在推断统计中非常重要，主要用于：

1. 置信区间：估计总体均值或比例的范围。
2. 假设检验：检验样本数据是否支持某个假设，比如某药物是否有效。

中心极限定理 告诉我们，当样本量足够大时（n≥30），样本均值的分布会接近正态分布，因此我们可以用 正态分布表 来进行统计推断。

置信区间 

1. 什么是置信区间？

置信区间用于估计总体参数（如均值或比例）的范围，而不是单一的数值。例如，如果一个样本均值是 50，我们可能会说总体均值落在 45 到 55 之间，而不是直接假设它等于 50。

置信区间的核心思想：

• 我们不能百分之百确定总体参数的真实值，但可以构造一个范围，使其包含总体参数的可能性很高。
• 置信水平指的是区间包含总体参数的概率，常见的有 90%、95%、99%。

 

2. 置信区间的计算公式

置信区间的计算依赖于样本统计量、标准误差和一个关键值（来自正态分布或 t 分布）。

（1）总体标准差已知（使用正态分布）

当总体标准差 σ已知时，置信区间计算如下：

其中：

• X是样本均值
• SE=σ 是标准误差
• Z 是正态分布的临界值（如 95% 置信水平时，(Z = 1.96））

示例：假设某学校学生的数学考试平均分为 75，已知总体标准差为 10，随机抽取了 100 名学生，求 95% 置信区间。

这意味着我们有 95% 的信心认为总体均值落在 73.04 到 76.96 之间。

（2）总体标准差未知（使用 t 分布）

在实际问题中，通常不知道总体标准差 σ，只能用样本标准差 s 来估计，此时使用 t 分布：

其中：

• SE=s/sqrt(n)
• t 值来自 t 分布表，取决于样本大小（自由度 df=n−1）和置信水平。

当样本量较小时（如 n<30），t 分布会比正态分布更宽，意味着区间会更大，以反映更大的不确定性。

 

题目：

某公司对员工的每日工作时长进行调查，随机抽取了 36 名员工，测得他们的 平均工作时长为 8.2 小时，样本标准差为 0.6 小时。请计算 95% 置信区间。

解题步骤：

1. 确定已知信息：

   • 样本均值：Xˉ=8.2
   • 样本标准差：s=0.6（总体标准差未知，所以用 t 分布）
   • 样本大小：n=36
   • 置信水平：95%
   • t 值（查表得 t=2.030对应自由度 df=n−1=35）

2. 计算标准误（SE）：

   

3. 计算置信区间：

   

结论：

我们有 95% 的信心认为，员工的总体平均工作时长在 7.997 到 8.403 小时 之间。