虚树学习笔记?
-
虚树是一棵虚拟构建的树…
废话这棵树只包含关键点和关键的点,而其他不影响虚树结构的点和边都相当于进行了路径压缩…而且整棵虚树的大小不会超过关键点的2倍- 举个例子？
- 比方说…
4567表示关键点(现在你要让这些关键点也形成一棵树…要求点最少但不能破坏原来树的结构)
- 构建完的虚树长这个样(其实这也是构建虚树时候的最坏情况…所有原来树上的点都加入了虚树之中)
- 什么时候才会出现这种最坏的情况???当所有叶子节点都是关键点的时候…，但是很显然的是叶子结点不会超过 n 2 \dfrac{n}{2} 2n个
-
如何构建虚树？
-
预处理出dfs序…将关键点按照dfs序进行排序
-
我们使用一个栈,从栈顶到栈底的元素形成虚树的一条树链.
-
Code
-
sort(af + 1, af + 1 + num, cmp); if(con[1] != 1) st[++top] = 1; for(int i = 1; i <= num; ++i) { int pos = af[i], fa = 0; for(; top;) { fa = GetLCA(st[top], pos); if(top > 1 && dep[fa] < dep[st[top - 1]]) { add(st[top - 1], st[top]), top--; } else if(dep[fa] < dep[st[top]]) { add(fa, st[top]), top--; break; } else { break; } } if(st[top] != fa) st[++top] = fa; st[++top] = pos; } for(; top > 1; --top) add(st[top - 1], st[top]);
-
-
-
正确性✅?
- 对于任意指定两点 a , b a,b a,b 的 l c a lca lca ，都存在 d f s dfs dfs 序连续的两点 u , v u,v u,v( d f n [ u ] ≤ d f n [ v ] dfn[u]\leq dfn[v] dfn[u]≤dfn[v]) 分别属于 l c a lca lca包含 a , b a,b a,b 的两棵子树，此时这 v v v 加入时按照上面的操作必定会把 l c a lca lca加入栈，所以应当加入的点都加入了。对于非 l c a lca lca 点，按照上面操作是不会出现这个点的。
HDU6035 Colorful tree
-
题意：
- 给你一棵 n ( 1 ≤ n ≤ 200000 ) n(1\leq n\leq 200000) n(1≤n≤200000)个节点的树…每一个节点有一个颜色.一条路径的权值定义为出现颜色集合的大小…问所有路径的权值和是多少…
-
题解:
当我们在考虑这个问题怎么求的时候…我们很容易地考虑到要计算每个颜色的贡献
我们会发现这样正着做会很难…遇难则反
- 问题转换为求有多少条路径没有出现过颜色 c c c
事实上我们并不需要构建出每一种颜色的虚树… 只需一遍dfs就可以考虑啦！
但是应用到了虚树的思想…
首先一个颜色没有 c o l col col的联通块里任意两个点的路径上都不会出现 c o l col col这个颜色
我们记录一个 s u m [ x ] sum[x] sum[x]表示遍历到当前这个点 颜色为 x x x的最高子树总大小。
假设当前点为 n o w now now,那么接下去就要遍历它的儿子…
- 我们记下遍历每个儿子之前的 s u m [ c o l [ n o w ] ] sum[col[now]] sum[col[now]]值为 l a s t last last
- 那么遍历完当前儿子之后 a d d = s u m [ c o l [ n o w ] ] − l a s t add=sum[col[now]] - last add=sum[col[now]]−last就是这个儿子顶部颜色为 c o l [ n o w ] col[now] col[now]的个数
- 那么 s z [ s o n ] − a d d sz[son]-add sz[son]−add就是颜色不为 c o l [ n o w ] col[now] col[now]的联通块大小
-
Code
#include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int N = 2e5 + 10; struct data { int nt, to; } a[N << 1]; ll ans; int sz[N], vis[N], head[N], col[N], sum[N], cnt = 0; void add(int x, int y) { a[++cnt].to = y; a[cnt].nt = head[x]; head[x] = cnt; } ll js(ll x) { return x * (x - 1) / 2; } void dfs(int u, int fa) { sz[u] = 1; int son = 0; for(int i = head[u]; i; i = a[i].nt) { int to = a[i].to; if(to == fa) { continue; } int last = sum[col[u]]; dfs(to, u); sz[u] += sz[to]; int now = sum[col[u]] - last; ans -= js(sz[to] - now); son += sz[to] - now; } sum[col[u]] += son + 1; } int main() { int n, cas = 0; while(scanf("%d", &n) == 1) { cnt = ans = 0; int tot = 0; for(int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d", &col[i]); if(!vis[col[i]]) { tot++, vis[col[i]] = 1; } } for(int i = 1, x, y; i < n; ++i) { scanf("%d%d", &x, &y); add(x, y), add(y, x); } ans = 1ll * tot * js(n); dfs(1, 0); for(int i = 1; i <= n; ++i) { head[i] = 0; if(vis[col[i]]) { // printf("%d %d\n", col[i], sum[col[i]]); ans -= js(n - sum[col[i]]); vis[col[i]] = 0; sum[col[i]] = 0; } } ++cas; printf("Case #%d: %lld\n", cas, ans); } return 0; }
HNOI2014 | 世界树
-
题意
-
给你一棵 n ( 1 ≤ n ≤ 100000 ) n(1\leq n\leq100000) n(1≤n≤100000)个节点的树 每次给你 n u m ( ∑ n u m ≤ 100000 ) num(\sum num \leq 100000) num(∑num≤100000)个控制点
- 一个点的控制点是离它最近的且标号最小的点
问你每个控制点控制了多少个点
-
-
题解
首先肯定是对这个 n u m num num个点构建虚树
先预处理出虚数上的点的控制点 在去更新原树上的控制点
(蓝色点为虚树上的点)有这么两种情况
-
这两个点的控制点是一样(假设为 c o n [ x ] con[x] con[x]) 那么这两个点之间的所有点的控制点显然都是 c o n [ x ] con[x] con[x]
-
这两个点的控制点是不一样的假设为 c o n [ x ] , c o n [ y ] con[x],con[y] con[x],con[y]
首先倍增出 m i d mid mid点 再根据 c o n [ x ] , c o n [ y ] con[x],con[y] con[x],con[y]的大小判断距离相同时的情况
-
-
Code
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 3e5 + 10, LOG = 20; struct data { int nt, to; } a[N << 1]; int con[N], f[N], be[N], af[N], st[N], rem[N], c[N]; int head[N], g[N][LOG + 1], dep[N], sz[N], dfn[N]; int n, cnt = 0, res = 0, now = 0, top = 0; void add(int x, int y) { a[++cnt].to = y; a[cnt].nt = head[x]; head[x] = cnt; } void predfs(int x, int fa) { dfn[x] = ++res; dep[x] = dep[fa] + 1; sz[x] = 1, g[x][0] = fa; for(int i = head[x]; i; i = a[i].nt) { int to = a[i].to; if(to == fa) { continue; } predfs(to, x); sz[x] += sz[to]; } } void prepare() { for(int j = 1; j <= LOG; ++j) for(int i = 1; i <= n; ++i) g[i][j] = g[g[i][j - 1]][j - 1]; } int GetLCA(int A, int B) { if(dep[A] > dep[B]) swap(A, B); for(int i = LOG; i >= 0; --i) if(dep[g[B][i]] >= dep[A]) B = g[B][i]; if(A == B) return A; for(int i = LOG; i >= 0; --i) if(g[A][i] != g[B][i]) A = g[A][i], B = g[B][i]; return g[A][0]; } int dis(int x, int y) { return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[GetLCA(x, y)]; } void dfs(int x) { c[++now] = x, rem[x] = sz[x]; for(int i = head[x]; i; i = a[i].nt) { int to = a[i].to; dfs(to); if(!con[to]) continue; int d1 = dis(x, con[to]), d2 = dis(x, con[x]); if((d1 == d2 && (con[to] < con[x])) || d1 < d2 || !con[x]) con[x] = con[to]; } } void Dfs(int x) { if(!con[x]) return ; for(int i = head[x]; i; i = a[i].nt) { int to = a[i].to; int d1 = dis(to, con[to]), d2 = dis(to, con[x]); if((d1 == d2 && (con[x] < con[to])) || d1 > d2 || !con[to]) con[to] = con[x]; Dfs(to); } } void work(int x, int y) { int ny = y, mid = y; for(int i = LOG; i >= 0; --i) if(dep[g[ny][i]] > dep[x]) ny = g[ny][i]; rem[x] -= sz[ny]; if(con[x] == con[y]) { f[con[x]] += sz[ny] - sz[y]; return ; } for(int i = LOG; i >= 0; --i) { int nxt = g[mid][i]; if(dep[nxt] <= dep[x]) continue; int d1 = dis(con[x], nxt), d2 = dis(con[y], nxt); if(d1 > d2 || (d1 == d2 && con[y] < con[x])) mid = nxt; } f[con[x]] += sz[ny] - sz[mid]; f[con[y]] += sz[mid] - sz[y]; } bool cmp(int x, int y) { return dfn[x] < dfn[y]; } void go() { now = cnt = top = 0; int num; scanf("%d", &num); for(int i = 1; i <= num; ++i) { scanf("%d", &be[i]); con[be[i]] = be[i], af[i] = be[i]; } sort(af + 1, af + 1 + num, cmp); if(con[1] != 1) st[++top] = 1; for(int i = 1; i <= num; ++i) { int pos = af[i], fa = 0; for(; top;) { fa = GetLCA(st[top], pos); if(top > 1 && dep[fa] < dep[st[top - 1]]) { add(st[top - 1], st[top]), top--; } else if(dep[fa] < dep[st[top]]) { add(fa, st[top]), top--; break; } else { break; } } if(st[top] != fa) st[++top] = fa; st[++top] = pos; } for(; top > 1; --top) add(st[top - 1], st[top]); dfs(1), Dfs(1); for(int i = 1; i <= now; ++i) for(int j = head[c[i]]; j; j = a[j].nt) work(c[i], a[j].to); for(int i = 1; i <= now; ++i) f[con[c[i]]] += rem[c[i]]; for(int i = 1; i <= num; ++i) printf("%d ", f[be[i]]); puts(""); for(int i = 1; i <= now; ++i) head[c[i]] = con[c[i]] = f[c[i]] = rem[c[i]] = 0; } int main() { scanf("%d", &n); for(int i = 1, x, y; i < n; ++i) { scanf("%d%d", &x, &y); add(x, y), add(y, x); } predfs(1, 0), prepare(); memset(head, 0, sizeof head); int m; scanf("%d", &m); for(int o = 1; o <= m; ++o) { go(); } return 0; }
2535
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
