尾部的零

最新推荐文章于 2021-11-14 03:41:49 发布

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#尾部的零个数

本文介绍了一种计算n阶乘中尾部零数量的高效算法，通过分解质因数，尤其是关注5的倍数，来确定末尾零的数量。文章提供了详细的数学原理和实现代码。

设计一个算法，计算出n阶乘中尾部零的个数

样例

样例  1:
	输入: 11
	输出: 2
	
	样例解释: 
	11! = 39916800, 结尾的0有2个。

样例 2:
	输入:  5
	输出: 1
	
	样例解释: 
	5! = 120， 结尾的0有1个。

原理

假如你把1 × 2 ×３× 4 ×……×N中每一个因数分解质因数，结果就像：
1 × 2 × 3 × (2 × 2) × 5 × (2 × 3) × 7 × (2 × 2 ×2) ×……
10进制数结尾的每一个0都表示有一个因数10存在——任何进制都一样，对于一个M进制的数，让结尾多一个0就等价于乘以M。
10可以分解为2 × 5——因此只有质数2和5相乘能产生0，别的任何两个质数相乘都不能产生0，而且2，5相乘只产生一个0。
所以，分解后的整个因数式中有多少对(2, 5)，结果中就有多少个0，而分解的结果中，2的个数显然是多于5的，因此，有多少个5，就有多少个(2, 5)对。
所以，讨论1000的阶乘结尾有几个0的问题，就被转换成了1到1000所有这些数的质因数分解式有多少个5的问题。

公式

求末尾0的个数：
至于一个数阶乘的末尾有多少个0，0的个数为（其中的“/”是取整除法）：
例子：1000的阶乘末尾0的个数
1000/5^1 + 1000/5^2 + 1000/5^3 + 1000/5^4
= 200 + 40 + 8 + 1
= 249(个)
注：5^4 ：五的四次方，因为5^4 小于1000,5^5大于1000，所以加到5^4

所以，具体的代码操作如下所示：

public class Solution {
    /*
     * @param n: An integer
     * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
     */
    public long trailingZeros(long n) {
        // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
        long count = 0;//定义零的个数初始化为0
        for(int i=1;Math.pow(5,i)<=n;i++){
            //Math.pow(5,i)函数，是计算5的i次方的值
            count += n/(long)Math.pow(5,i);//计算出5的个数的总和
        }
        return count;
    }
}

public class Solution {
    /*
     * @param n: An integer
     * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
     */
    public long trailingZeros(long n) {
        // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
        long count = 0;//定义零的个数初始化为0
        while(n!=0){
            count += n/5;//计算出5的个数的总和
            n/=5;
        }
        return count;
    }
}
/*假设n=1000，则对于while循环来说：
*第一次，count = 200  n = 200    5^1
*第二次，count = 200+40  n = 40    5^2
*第三次，count = 200+40+8  n = 8    5^3
*第四次，count = 200+40+8+1  n = 1    5^4
*第五次，count = 200+40+8+1+0  n = 0    5^5 > 1000 ,所以结果为0
*/