【NOIP2015】运输计划（二分+lca+树上差分）

最新推荐文章于 2024-07-15 18:40:27 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Patrickpwq/articles/9473727.html

本文解析了一道NOIP题目，通过巧妙运用二分搜索和树上差分技巧，解决了一个关于虫洞路径优化的问题。在极限数据下，通过分析路径耗时，利用树上差分优化查找过程，实现了高效算法。

传送门

不得不承认noip的题出的是真的好

n=300000,m=300000的极限数据不由得想到某种nlogn的做法

这道题乍一看和二分没有一点关系，然而我们仔细想想后发现，对于一个时间t1，如果t1之内可以完成，那么t2肯定也能完成！

满足单调性，因此我们可以二分时间，那么如何check呢？

首先，对于一个t，那么所有m必定分为两类——耗时超过t，耗时小于等于t的。

由于我们只有一次变虫洞的机会。如果有多个耗时超过t的链，那么我们变虫洞的地方只能在所有链经过的公共部分，因为只有这样才能尽量使最大耗时小于t。

那么如何去找经过的公共部分呢？暴力的思路是对于每个超过t的链的每条边都去标记一下(找到lca，然后暴力往上跳，复杂度O(log(n)mn))，然后扫一遍。

很明显不行，于是又仔细一想，自然而然想到了树上差分。

所以，对于每个超出的链，我们只需要diff[from]++,diff[to]++,diff[lca]-=2，最后扫一遍统计即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 300005 
#define M 300005
using namespace std;
int n,m,first[N],tot;
int dis[N],up[N][25],depth[N],d[M],pre[N];
int from[M],end[M],l[M],maxlen;
int diff[N],cnt,ret;
struct node
{
    int to,next,val;
}edge[2*N];
inline void addedge(int x,int y,int z)
{
    tot++;
    edge[tot].to=y;
    edge[tot].val=z;
    edge[tot].next=first[x];
    first[x]=tot;
}
inline void dfs1(int now,int fa)
{
    depth[now]=depth[fa]+1;
    up[now][0]=fa;
    for(int i=1;i<=24;i++)  up[now][i]=up[up[now][i-1]][i-1];
    for(int u=first[now];u;u=edge[u].next)
    {
        int vis=edge[u].to;
        if(vis==fa) continue;
        dis[vis]=dis[now]+edge[u].val;
        pre[vis]=edge[u].val;
        dfs1(vis,now);
    }
}
inline int lca(int x,int y)
{
    if(depth[x]<depth[y])   swap(x,y);//默认x比y深
    for(int i=24;i>=0;i--)  if(depth[up[x][i]]>=depth[y])   x=up[x][i];
    if(x==y)    return x;
    for(int i=24;i>=0;i--)
        if(up[x][i]!=up[y][i])
        {
            x=up[x][i];
            y=up[y][i];
        }
    return up[x][0];
}
inline void dfs2(int now)
{
    for(int u=first[now];u;u=edge[u].next)
    {
        int vis=edge[u].to;
        if(vis==up[now][0]) continue;
        dfs2(vis);
        diff[now]+=diff[vis];
    }
    if(diff[now]==cnt)  ret=max(ret,pre[now]);  //如果有多条链都超过了要求 那虫洞只能建立在这些链都经过的边上 这里贪心找 
}
inline bool check(int t)
{
    memset(diff,0,sizeof(diff));
    ret=cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(d[i]>t)  {//把所有超过要求的链统计一下 
            diff[from[i]]++;
            diff[end[i]]++;
            diff[l[i]]-=2;
            cnt++;
        }
    }
    dfs2(1);
    if(maxlen-ret>t)    return false;
    return true;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL),cout.tie(NULL);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        addedge(x,y,z);
        addedge(y,x,z);
    }
    dfs1(1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>from[i]>>end[i];
        l[i]=lca(from[i],end[i]);
        d[i]=dis[from[i]]+dis[end[i]]-2*dis[l[i]];
        maxlen=max(maxlen,d[i]);
    }
    int l=0,r=maxlen;
    while(l<r)
    {
        int m=(l+r)>>1;
        if(check(m)) r=m;
        else l=m+1; 
    }
    cout<<l;
    return 0;
}

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