前言
最近在做 LLM 窗口外推的相关工作，因此刚好也回顾一下目前最流行的位置编码 RoPE。
1、关于RoPE
RoPE（Rotary Position Embedding），是苏剑林大神在 2021 年就提出的一种 Transformer 模型的位置编码。
RoPE 是一种可以以绝对位置编码形式实现的相对位置编码，兼顾了模型性能和效率。
2023 年上半年的时候，大模型位置编码尚有 Alibi 和 RoPE 在相互比拼，而到了 2023 年下半年，及今 2024 年，新开源出来的模型，大部分都是使用 RoPE 了。当然 Alibi 也有其优势，这个在讲 Alibi 的时候来说。
苏神在他的个人网站科学空间中对 RoPE 有相关文章进行了介绍，本篇是在这个基础上，对 RoPE 进行理解（公式和符号上也会沿用苏神的写法）。
2、以绝对位置编码的方式实现相对位置编码
前面提到，RoPE 是一种一绝对位置编码的方式实现的相对位置编码，那么这么做能带来什么收益？
先说原因：
在文本长度不长的情况下（比如 Bert 时代基本都是 256/512 token 的长度），相对位置编码和绝对位置编码在使用效果上可以说没有显著差别。
如果要处理更大长度的输入输出，使用绝对位置编码就需要把训练数据也加长到推理所需长度，否则对于没训练过的长度（训练时没见过的位置编码），效果多少会打些折扣。
而使用相对位置编码则更容易外推，毕竟 token-2 和 token-1 的距离，与 token-10002 和 token-10001 的距离是一样的，也因此可以缓解对巨量长文本数据的需求。
但是传统相对位置编码的实现相对复杂，有些也会有计算效率低的问题。由于修改了 self-attention 的计算方式，也比较难推广到线性注意力计算法模型中。
总结来说，就是绝对位置编码好实现，效率高，适用线性注意力，而相对位置编码易外推，因此就有了对“绝对位置编码的方式实现相对位置编码”的追求，去把二者的优点结合起来。
下面简单回顾一下绝对位置编码和相对位置编码。（对位置编码比较熟悉的朋友可以直接跳到第3节。）
（1）绝对位置编码
先回顾一下带绝对位置编码的 self-attention。
（2）相对位置编码
直观来说，比如词表大小是 1 万，模型训练窗口最大长度是 512，那么对于模型来说，实际上要区分的输入是 1 万×512=512 万个。
看起来虽然不少，但是在海量的数据和训练量下，这也不算什么事儿，模型确实能 handle。
Google 式
为什么要增加一个 clip 操作？因为直观上，一个词对其左右附近的其他词的位置关系理应更加敏感。
比如“我请你吃饭”中，“吃饭”这个词需要以高分辨率明确区分出前面三个词“我”、“请”、“你”的位置，以免理解成了“你请我吃饭”。
而随着距离越来越远，这种高分辨率的需求也就越来越低，十万个 token 之前的内容顺序对于当前 token 来说，影响比较小了，在位置向量上可以一视同仁。
另外这也是方便了位置信息的外推，比如我们可以只训练 256 个相对位置编码信息，而在应用是可以外推到>256 的长度。
本来到这里就可以了，相对位置信息已经加入了，但是 Google 除了在 input 端增加了相对位置信息，在输出端也增加了相对位置信息。
本来输出端的计算是：
XLNET 式
XLNET 也使用了相对位置编码，思路类似 Google，只是具体的操作不同。
在公式（2）的基础上继续展开：
把绝对位置相关的几个参数改成相对位置相关的参数，变成：
此外，XLNET 只对输入端做了处理，输出端则直接把位置相关的计算去掉了，即：
当然，也有简单一点的实现，比如 T5 的方法。
T5 式
（从最早提出，到 XLNET，以及 DeBerta，T5 等，可以看到相对位置编码的实现有一个简化的趋势，而效果也越来越好，正所谓大道至简，有时候有用的东西未必需要很复杂）
（3）对比
看来相对位置编码确实比较复杂，说个大概需要这么多篇幅；并且相对绝对位置编码，也没有那么直接明了，需要对 attention 计算做一些改造。
公式（1）的绝对位置编码中，可以看到在进 softmax 操作前需要做 3 次矩阵加法，3 次矩阵乘法。
从公式（8）可以看到，共有 4 组矩阵计算要做，每组要做 3 次矩阵乘法，相对会比较复杂。
公式（3）也有类似的情况。当然同时也有一些针对相对位置编码的高效计算被提出，这些就需要针对不同的计算方案来优化了。
总之在实现方式上和计算效率上，绝对位置编码具有一些优势。而在输入输出窗口外推方面，相对位置编码有着天然的优势。
另外，绝对位置编码保持 self-attention 的经典形式，使得应用面更广，如可以使用到 linear attention 方案中去，这个以后再展开讲（又挖了个坑）。
4、RoPE的设计思路
（1）保持 attention 计算形式
回顾完经典的绝对位置编码和相对位置编码，回到 RoPE 上来。
先说设计思路：
首先我们想要保持经典 self-attention 的计算方式，即公式（1）中的形式，输入端 = 内积 + softmax，至于输出端则保持完全不变。softmax 我们不去动，那这里留给我们操作的就是内积。
也就说，现在问题是，我们怎么在只做内积的情况下，把内积结果变成只和相对位置有关，而和绝对位置无关的结果。
写成公式就是：
当然理论上这里是存在无数多组答案的，那么 RoPE 怎么找到一组好实现的组合呢？
（2）借用复数寻找组合
这里先回顾一下复数的知识。任意复数都可以表示成复平面的一个 2 维向量。
现在考虑 query 和 key 向量都是 2 维的情况，那么可以代入复数的操作。
（先把 hidden size = 2 的情况推理清楚，后续再推广到更高维的情况）
那么在 2 维复数平面上有什么操作可以满足公式（11）的要求呢？Roformer 论文中提出的是这组：
先证明一下这个组合的正确性，是不是真的满足公式（11）。（也可以先跳过证明，选择先相信这个组合）
回顾一下欧拉公式：
（这里沿用式（1）中，默认向量为行向量的设定，所有有个 transpose，实际上是行向量还是列向量都没关系，只是推算的时候写法问题）
类似地，有：
用了三角函数和差公式：
（3）“旋转”位置编码
发现式（17）可以写成这样：
如果从向量视角来看，则有：
看式（22）和（23），可以看到等号右边都有：
这也是为什么叫做“旋转”位置编码。
（4）从 2 维推广到高维
答案是把高维输入拆分成两个两个一组（这要求输入是偶数维，目前的模型也都是偶数维，所以没问题），则高维的“旋转”矩阵有多个小旋转矩阵组成。
（5）高效率实现
式（25）中的矩阵在高维的情况下很稀疏，直接使用这么个矩阵来计算效率并不高，可以使用一个这样的高效率实现方式。
只需进行两组 element-wise 乘法即可。形式上看起来是类似乘性绝对位置编码的做法。
另外，看 LLAMA 中的实现，可以看到旋转位置编码是在每一个 decoder 层的输入都加了的。每次都强化一次位置信息，也有助于模型更好识别不同距离的内容。
（6）远程衰减的特性
至此，旋转位置编码已经完备，具备了计算高效，实现容易，便于外推，适用于线性注意力的特性。实际上它还具备另一项优点：有远程衰减的特性。
直观看起来远程衰减很符合直觉，毕竟注意力机制随着距离的衰减而降低，这个机制和人类也很像。
4、小结
总之，RoPE 在设计和实现上还是挺巧妙的，性质上也很有很多优势，所以被广泛应用到 transformer 模型中去了。
最后的最后
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