HAOI2010 软件安装

最新推荐文章于 2023-04-13 00:03:49 发布

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本文探讨了一个软件安装优化问题，目标是在考虑软件间的依赖关系及磁盘空间限制下，选择安装哪些软件以达到最大价值。文章介绍了如何利用强连通分量和树形DP算法解决该问题，并提供了一段示例代码。

题目

现在我们的手头有N个软件，对于一个软件i，它要占用Wi的磁盘空间，它的价值为Vi。我们希望从中选择一些软件安装到一台磁盘容量为M计算机上，使得这些软件的价值尽可能大（即Vi的和最大）。

但是现在有个问题：软件之间存在依赖关系，即软件i只有在安装了软件j（包括软件j的直接或间接依赖）的情况下才能正确工作（软件i依赖软件j)。幸运的是，一个软件最多依赖另外一个软件。如果一个软件不能正常工作，那么它能够发挥的作用为0。

我们现在知道了软件之间的依赖关系：软件i依赖软件Di。现在请你设计出一种方案，安装价值尽量大的软件。一个软件只能被安装一次，如果一个软件没有依赖则Di=0，这时只要这个软件安装了，它就能正常工作。

输入格式

第1行：N, M （0<=N<=100, 0<=M<=500）

第2行：W1, W2, … Wi, …, Wn （0<=Wi<=M ）

第3行：V1, V2, …, Vi, …, Vn （0<=Vi<=1000 ）

第4行：D1, D2, …, Di, …, Dn （0<=Di<=N, Di≠i ）

输出格式

一个整数，代表最大价值

样例输入

3 10
5 5 6
2 3 4
0 1 1

样例输出

题解

思路：强连通分量+树形 DP 。

对于每个 i，从 i 向 Di 建一条有向边。

由于依赖关系可以形成环，里面的节点要么都选，要么都不选。
所以，先缩点，构成一个新图，这样新图里的每个节点可以看成一个新图。建一个0节点，向新图里所有的入度为 0 的节点建一条有向边，构成一棵树，以0节点作为根。

建树完毕后，在构成的树上做 DP 。

以下 cost[i] 和 val[i] 分别为树上每个节点的费用和价值，设 f[u][i] 为在节点 u 的子树内，费用限制为 i 的条件下能取到的最大价值。
类似洛谷P2014选课
最后答案为 $f[0][m]$ 。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 105, M = 505;
int n, m, W[N], V[N], f[N][M];
int ecnt, nxt[M], adj[N], go[M], top;
int sta[N], dfn[N], low[N], times;
int num, bel[N], cost[N], val[N], ecnt2;
int nxt2[M], adj2[N], go2[M], d[N];
bool ins[N], G[N][N];
void add_edge(int u, int v)
{
    nxt[++ecnt]=adj[u];
    adj[u]=ecnt;
    go[ecnt]=v;
}
void add_edge2(int u, int v)
{
    nxt2[++ecnt2]=adj2[u];
    adj2[u]=ecnt2;
    go2[ecnt2]=v;
}
void Tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++times;
    sta[++top]=u;
    ins[u]=1;
    for (int e=adj[u],v;e;e=nxt[e])
        if (!dfn[v = go[e]])
        {
            Tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        }
        else if (ins[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    if (dfn[u] == low[u]) {
        int v; bel[u] = ++num; ins[u] = 0;
        while (v = sta[top--], v != u) bel[v] = num, ins[v] = 0;
    }
}
void dp(int u)
{
    int i, j;
    for (i = cost[u]; i <= m; i++)
    f[u][i] = val[u];
    for (int e = adj2[u], v; e; e = nxt2[e]) 
    {
        dp(v = go2[e]);
        for (i = m - cost[u]; i >= 0; i--)
        for (j = 0; j <= i; j++)
            f[u][i + cost[u]] = max(f[u][i + cost[u]],
                f[u][i + cost[u] - j] + f[v][j]);
    }
}
int main()
{
    int i,j,x;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++) 
    cin>>W[i];
    for(i=1;i<=n;i++)
    cin>>V[i];
    for(i = 1; i <= n; i++) 
    if (cin>>x)
    add_edge(x, i);
    for(i = 1; i <= n; i++)
    if (!dfn[i]) Tarjan(i);
    for(i = 1; i <= n; i++) 
    {
        cost[bel[i]] += W[i]; val[bel[i]] += V[i];
        for (int e = adj[i]; e; e = nxt[e])
            if (bel[i] != bel[go[e]]) G[bel[i]][bel[go[e]]] = 1,
                d[bel[go[e]]]++;
    }
    for (i = 1; i <= num; i++)
     for (j = 1; j <= num; j++)
        if (G[i][j]) add_edge2(i, j);
    for (i = 1; i <= num; i++) 
        if (!d[i])
        add_edge2(num + 1, i);
    printf("%d\n", (dp(num + 1), f[num + 1][m]));
}