《算法导论》第8章 线性时间排序 个人笔记

本文介绍了排序算法的下界,并详细探讨了计数排序、基数排序及桶排序三种线性时间排序算法。其中,计数排序适用于较小范围内的整数排序,基数排序适合对多位数进行排序,而桶排序则利用插入排序对分配到各桶的数据进行排序。

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第8章 线性时间排序

8.1 排序算法的下界

定理:在最坏情况下,任何比较算法都需要做Ω(nlgn)次比较。
证明:通过一个决策树模型来分析,对于一颗每个排列都是一个可达的叶节点的决策树来说,树的高度可以被确定。考虑一颗高度为h,具有l个可达节点的决策树,它对应一个对n个元素所做的比较排序。因为输入数据的n!种可能的排列都是叶节点,所以有n!l。由于在一颗高为h的二叉树中,叶节点的数目不多于2h,我们得到:

n!l2h

对该式两边取对数,有
hlg(n!)=Ω(nlgn)

堆排序和归并排序都是渐进最优的比较排序算法。

8.2 计数排序

int[] countSort(int A[], int B[], int k, int length){
    int C[] = new int[k + 1];
    for(int i = 0;i < length;i++)
        C[A[i]] += 1;
    for(int i = 1;i <= k;i++)
        C[i] += C[i - 1];
    for(int i = length - 1;i >= 0;i--){
        B[C[A[i]]] = A[i];
        C[A[i]] -= 1;
    }
    return B;
}

总的时间代价是Θ(k+n),当k=O(n)时,我们一般会采用计数排序,这时的运行时间为Θ(n)

8.3 基数排序

REDIX-SORT(A, d)
for i =i to d
    use a stable sort to sort A on digit i

引力:给定n个d位数,其中每一个数位有k个可能的取值。如果RADIX-SORT使用的稳定排序方法耗时Θ(n+k),那么它就可以在Θ(d(n+k))时间内将这些数排好序。

8.4 桶排序

BUCKET-SORT(A)
n = A.length
let B[0..n-1] be a new array
for i = 0 to n-1
    make B[i] an empty list
for i = 1 to n
    insert A[i] into list B[nA[i]]
for i = 0 to n-1
    sort list B[i] with insertion sort
concatnate the lists B[0],B[1],...,B[n-1] together in order

假设ni是表示桶B[i]中元素个数的随机变量,因为插入排序的时间代价是平方阶的,所以桶排序的时间代价为:

T(n)=Θ(n)+i=0n1O(n2i)

桶排序的期望运行时间为
Θ(n)+nO(21/n)=Θ(n)
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