CF988D题解

题目大意

题目传送门

题意：给你有 $n$ 个数字的一个数列，问最多有多少个数字他们 两两的差是 2 的幂次方数。

思路

首先，我们想一个数能不能组成一个满足题目要求的序列，答案是肯定的。（直接输出 $a_1$ 不就彳亍了吗）

再想两个数彳亍不彳亍。看看样例：

输入 #1

6
3 5 4 7 10 12

输出 #1

3
7 3 5

举个栗子：$3$ 和 $5$ 之间差距是 $2$，即 $2^1$。

再来看三个数的，样例输出就已经给了。

看四个数，还是举个栗子：

输入：
1 2 3 4

发现如果是四个数，$1$ 和 $4$ 相差 $3$，并不是 $2$ 的次方，发现不行。

证明一下：

令四个数为 $a,b,c,d$，则：

$|a-b|=2^{x_0},|b-c|=2^{x_1},|c-d|=2^{x_2}$

此时需要满足两两之差为 $2$ 的次方，则 $x_0=x_1=x_2$

∴ $|a-c|=2^{x_0+1},|b-d|=2^{x_1+1}$

∴ $|a-d|=3\times 2^{x_0}\ne 2^k$

所以，可以满足题目要求的序列的元素个数只能输 $1,2,3$ 个。

代码核心部分：

for (int i = 1;i <= n;i++) //枚举3个数组成的序列 
{
	for (int j = 0;j <= 30;j++)
	{
		int w = sum[j]; //w获取了2的j次方
		if (s.count(a[i]+w) >= 1 && s.count(a[i]+2*w) >= 1) //判断是否有一个满足条件的序列 
		{
			printf("3\n%lld %lld %lld",a[i],a[i]+w,a[i]+2*w); //可以输出啦 
			return 0; //直接结束程序 
		}
	}
}

最后，附上我的 AC 代码：

#include <bits/stdc++.h> //万能头 
#define int long long //可能会超int 
using namespace std;
int n;
int a[200010];
set <int> s; //用集合去存储，会自动去重和排序 
int sum[40]; //sum[i]表示2的i次方 
signed main() //这里注意是signed 
{
	sum[0] = 1; //这里初始化是为了优化pow函数 
	for (int i = 1;i <= 30;i++)
	{
		sum[i] = sum[i-1] * 2;
	}
	scanf("%lld",&n); //以防万一，就用scanf吧 
	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		s.insert(a[i]); //将a[i]加入集合 
	}
	for (int i = 1;i <= n;i++) //枚举3个数组成的序列 
	{
		for (int j = 0;j <= 30;j++)
		{
			int w = sum[j]; //w获取了2的j次方
			if (s.count(a[i]+w) >= 1 && s.count(a[i]+2*w) >= 1) //判断是否有一个满足条件的序列 
			{
				printf("3\n%lld %lld %lld",a[i],a[i]+w,a[i]+2*w); //可以输出啦 
				return 0; //直接结束程序 
			}
		}
	}
	for (int i = 1;i <= n;i++) //枚举2个数组成的序列
	{
		for (int j = 0;j <= 30;j++)
		{
			int w = sum[j]; //w获取了2的j次方
			if (s.count(a[i]+w) >= 1) //判断是否有一个满足条件的序列 
			{
				printf("2\n%lld %lld",a[i],a[i]+w); //可以输出啦 
				return 0; //直接结束程序 
			}
		}
	}
	printf("1\n%lld",a[1]); //最后，如果3个或2个都不行，那就随便输出原数列中的一个数 
	return 0;
}