请回答数据结构【树结构】

1. 树结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1.1 树的特点

🍁 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
🍁 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

🍁 树是递归定义的。也就是始终根,子树的套娃

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构,也就是不能构成回路,回路就是图了

1.2 有关树的概念

⚡️ **节点的度：**一个节点含有的子树的个数称为该节点的度,如上图：A的为6
⚡️ **叶节点或终端节点：**度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
⚡️ **非终端节点或分支节点：**度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
⚡️ **双亲节点或父节点：**若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
⚡️ **孩子节点或子节点：**一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
⚡️ **兄弟节点：**具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
⚡️ **树的度：**一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
⚡️ **节点的层次：**从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
⚡️ **树的高度或深度：**树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
⚡️ **堂兄弟节点：**双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
⚡️ **节点的祖先：**从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
⚡️ **子孙：**以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
⚡️ **森林：**由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

最近公共祖先;注意F和K的最近公共祖先是F

图片来源于Crash Course Computer Science

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。最优秀的表示法，没有之一

树并没规定有几个孩子，二叉树就是计划生育的每个树的分支都是两个孩子，树结构中即使孩子再多，都可以用孩子兄弟来表示

最优秀的结构：

1.3.1 左孩子右兄弟表达法

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

图片来源于Crash Course Computer Science

只要两个指针就可以解决问题，是用到最多的

无论树中一个节点有多少给孩子，只要有孩子就先指向一个，剩下的孩子作为兄弟连在第一个孩子后面就可以了，没有孩子或者兄弟的话就指向空就可以了

1.3.2 双亲表达法

每个值存父亲的下标

但是不适合插入删除数据，找父亲好找，但是找儿子就不好找了

1.4 树在实际中的运用

表示文件系统的目录树结构

虚线是软链接

2. 二叉树

这是一颗满二叉树

2.1 Intro of Binary tree

2.1.1 标准二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

一棵二叉树的特点就是

1. 二叉树不存在度大于2的结点，度最多只能有小于等于两个
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

2.1.2 特殊的二叉树

特殊的二叉树

1. 满二叉树：

   一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：前k-1层都是满的，最后一层可以不满，但是从左到右都是连续的

   完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

   堆就是一棵满二叉树

2.2 二叉树的存储结构

2.2.1 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.2.2 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，一般都是二叉链，如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

2.3 二叉树的性质

2.3.1 父与子

二叉树的父子间关系可以推得
$$leftchild=parent\ast 2+1$$

$$rightchild=parent\ast 2+2$$

$$parent=(child-1)/2$$

孩子推父亲，不管左右孩子，都可以是用以上公式

2.3.2 树与叶

🍁 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点

🍁 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1

🍁 对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n0 ，度为2的分支结点个数为n2 ，则有n0＝n2＋1

🍁 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度
$$h=lo{g}_2(n+1)$$

🍁 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 🌿 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2 🌿 若i=0，i为根节点编号，无双亲节点

• 🌿 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，🌿 若2i+1>=n否则无左孩子

• 🌿 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，🌿 若2i+2>=n否则无右孩子

🍁 一个 n 个结点的二叉树将拥有 n-1 条边
🍁 完全二叉树中度不为1的节点最多只有一个，完全二叉树最后一层缺的节点的个数X的范围是
$$[0,2^{k-1}-1]$$

3. 小试牛刀

3.1 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

• 不存在这样的二叉树
• 200
• 198
• 199

3.2 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

• n

• n+1

• n-1

• n/2

3.3 在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个，度为2的结点有1个，度为1的结点有2个，则叶子结点有（ ）个

• 4

• 5

• 6

• 7

设度为i的节点个数为ni, 该树总共有n个节点,则n=n0+n1+n2+n3.

有n个节点的树的总边数为n-1条.

根据度的定义,总边数与度之间的关系为：n-1=0*n0+1*n1+2*n2+3*n3.

联立两个方程求解,可以得到n0 = n2 + 2n3 + 1, n0=6

3.4 一颗拥有1000个结点的树度为4，则它的最小深度是（ ）

• 5

• 6

• 7

• 8

  如果这棵树每一层都是满的，则它的深度最小，假设它为一个四叉树，高度为h，则这个数的节点个数为(4^h - 1) / 3，当h = 5, 最大节点数为341， 当h = 6, 最大节点数为1365，所以最小深度应该为6。

3.5 一颗完全二叉树上有1001个结点，其叶子结点的个数是（ ）

• 251
• 500
• 501
• 不能确定

完全二叉树种父亲节点与孩子节点编号的关系（编号从0开始)： child = 2 * parent + 1, child2 = 2 * parent + 2，所以从编号500开始的节点就没有孩子节点了, 都为叶子节点，故叶子节点位置[500, 1000]，共501个。

3.6 2-3树是一种特殊的树，它满足两个条件：

(1) 每个内部结点有两个或三个子结点

(2) 所有的叶结点到根的距离相同

如果一颗2-3树有10个结点，那么它有( )个叶结点。

• 7

• 8

• 7 或 8

• 6

根据题目意思，每一个非叶子节点至少有两个孩子节点，并且叶子节点都在同一层，所以，假设树的高度为h， 则二三树种最小的节点个数为满二叉树的个数：2^h - 1, 最大个数： (3^h - 1) / 2。所以 2^h - 1 < 10 < (3^h - 1) / 2, h为3，结构是1(3(2,2,2))。所以叶节点个数为6

3.7 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

• 11
• 10
• 8
• 12

最少2^h-1-1+1，最多2^h-1

512-1024

3.8 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

• 383
• 384
• 385
• 386

完全二叉树，度为0的比度为2的多一个

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