第四届蓝桥杯黄金连分数

黄金分割数0.61803… 是个无理数，这个常数十分重要，在许多工程问题中会出现。有时需要把这个数字求得很精确。
对于某些精密工程，常数的精度很重要。也许你听说过哈勃太空望远镜，它首次升空后就发现了一处人工加工错误，对那样一个庞然大物，其实只是镜面加工时有比头发丝还细许多倍的一处错误而已，却使它成了“近视眼”!!
言归正传，我们如何求得黄金分割数的尽可能精确的值呢？有许多方法。
比较简单的一种是用连分数：

                           1
黄金数 = ---------------------
                                 1
               1 + -----------------
                                    1
                     1 + -------------
                                       1
                           1 + ---------
                                    1 + ...

这个连分数计算的“层数”越多，它的值越接近黄金分割数。
请你利用这一特性，求出黄金分割数的足够精确值，要求四舍五入到小数点后100位。
小数点后3位的值为：0.618
小数点后4位的值为：0.6180
小数点后5位的值为：0.61803
小数点后7位的值为：0.6180340
(注意尾部的0，不能忽略）
你的任务是：写出精确到小数点后100位精度的黄金分割值。
注意：尾数的四舍五入！ 尾数是0也要保留！
显然答案是一个小数，其小数点后有100位数字，请通过浏览器直接提交该数字。
注意：不要提交解答过程，或其它辅助说明类的内容。
思路：
此题关键是理解题意中的连分数的计算方式以及熟悉大整数的加减乘除运算。
首先观察连分数的公式，发现第一层是1，第二层是1/2，第三层是2/3，第四层是3/5，往后是5/8，8/13…由此可看出分子分母符合斐波那契数列。所以需要实现一个求菲波那切数列的功能，这些数最后会很大，所以需要使用字符串来存储，即实现字符串存储大整数。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//大整数加法 
string BigAdd(string a, string b)
{
	a = a.substr(a.find_first_not_of('0'));//去除最前面的0 
	b = b.substr(b.find_first_not_of('0'));
	long long lena = a.length();
	long long lenb = b.length();
	long long len = max(lena, lenb) + 10;
	string ans(len, '0');
	reverse(a.begin(), a.end());//考虑到低位向高位有进位，所以需要翻转先算低位 
	reverse(b.begin(), b.end());
	for(int i = 0; i < lena; i++)
		ans[i] = a[i];

	//纪录进位
	int tmp = 0; 
	for(long long i = 0; i < len; i++)
	{
		if(i < lenb)         
			tmp += ((ans[i] - '0') + (b[i] - '0'));
		else
			tmp += (ans[i] - '0');
		ans[i] = (tmp % 10) + '0';
		tmp /= 10; 
	}
	reverse(ans.begin(), ans.end());
	return ans.substr(ans.find_first_not_of('0'));
}

int cmp(string a, string b)
{
	if(a.find_first_not_of('0') == string::npos) a = '0'; //a等于0的情况 
	else a.substr(a.find_first_not_of('0'));
	if(b.find_first_not_of('0') == string::npos) b = '0';
	else b.substr(b.find_first_not_of('0'));
	if(a.length() > b.length()) return 1;
	else if(a.length() < b.length()) return -1;
	else
	{
		if(a < b) return -1;
		if(a > b) return 1;
		else return 0;
	}
	
}
//大整数减法 
string BigSubtract(string a, string b)
{
	int flag = 0;
	if(cmp(a, b) == -1) 
	{
		flag = 1;
		//cout << "不够减"<<endl;
		swap(a, b);
	}
	a = a.substr(a.find_first_not_of('0'));
	b = b.substr(b.find_first_not_of('0'));
	long long lena = a.length();
	long long lenb = b.length();
																																																																							
	reverse(a.begin(), a.end());
	reverse(b.begin(), b.end());
	for(int i = 0; i < lenb; i++)   //以b的长度为减数的标准，因为超过了就不减了 
	{
		
		if(a[i] < b[i]) 
		{
			int k = 1;
			while((i+k) < lena && a[i+k] == '0')  //保证a[i+k]这一位上不是0 
			{
				a[i+k] = '9';
				k++;
			}
			a[i+k]  = a[i+k] -'1' +'0';
			a[i] = (a[i] - '0' + 10) + '0';
		}
		a[i] = a[i] - b[i] + '0';
		
	}
	reverse(a.begin(), a.end());
	if(a.find_first_not_of('0') == string::npos) a = '0'; 
	else{
		a  = a.substr(a.find_first_not_of('0'));
		if(flag == 1)
		{
			reverse(a.begin(), a.end());
			a.append("-");
			reverse(a.begin(), a.end());
		}
	}
	
	return a;
	
 } 
 //整数转换成字符串 
 void i2s(int num, string& str)
 {
 	char ss[10];
	itoa(num, ss, 10);
	str = ss;
 }
 //大整数除法 
string BigDivide(string a, string b)
{
	if(cmp(a, b) == -1)
	{
		string ans = "0.";
		//转化成减法
		for(int i = 0; i < 101; i++)
		{
			a.append("0");
			int t = 0;
			while(cmp(a, b) >= 0){//a>b
				a = BigSubtract(a, b);   //不停做减法 
				t++;                 //记录减法做了多少次 
			}
			string t_str;
			i2s(t, t_str);
			ans.append(t_str);
			
		 } 
		return ans;
	}
	else if(cmp(a, b) == 0)
	{
		string ans = "1";
		return ans;
	}
	else
	{
		string ans;
		//转化成减法
		int flag = 0;
		for(int i = 0; i < 101; i++)  //模拟手算除法 
		{
			if(cmp(a, b) == -1 && flag == 0)
			{
				ans.append(".");
				a.append("0");
				flag = 1;
			}
			else if(cmp(a, b) == -1 && flag == 1)
			{
				a.append("0");
			}
				
			int t = 0;
			while(cmp(a, b) >= 0){//a>b
				a = BigSubtract(a, b);   //不停做减法 
				t++;                 //记录减法做了多少次 
				//cout<<t<<endl; 
			}
			string t_str;
			i2s(t, t_str);
			ans.append(t_str);
			
		 } 
		return ans;
	}
	
	
	
}

int main()
{
	int n = 300;

	string a  = "1";
	string b  = "1";
	for(int i = 3; i <= n; i++)
	{
		string tmp = b;
		b = BigAdd(a, b);
		a = tmp;
//		cout<<b<<endl;
	}
	string ans = BigDivide(a, b);
	cout<<ans<<endl;
	cout<<ans.length()-2<<endl;
	
	return 0;
}

PS：
1.此代码实现加法，减法和除法功能时考虑了全部情况，若只看本题只需考虑a<b的情况。
2.此题还有一个需要注意的点是精确到小数点后100位时需要尝试输入计算斐波那契的次数，直到小数点后100位数字完全相同为止。