高一数学常用公式

不等式

排序不等式

已知 $a_1\le a_2\le ...a_{n-1}\le a_n$ , $b_1\le b_2\le ...b_{n-1}\le b_n$

则有 $\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\ge \sum _{i=1}^n{a}_{\varphi (i)}{b}_i\ge \sum _{i=1}^n{a}_{n-i+1}{b}_i$

当且仅当 ∀ i , j ∈ { 1 , 2 , . . . , n } \large\forall i,j\in\{1,2,...,n\} ∀i,j∈{1,2,...,n} 都有 $a_i=a_j$ , $b_i=b_j$ 时取等

$\to a,b,c\in \mathbb{R},a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca,$ 当且仅当 $a=b=c$ 时取等

柯西不等式

$\sum _{i=1}^n{a}_i^2\cdot \sum _{i=1}^n{b}_i^2\ge (\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2$ ，当且仅当 $\large\forall i,j\in{1,2,…,n} $ 都有 $\frac{a_i}{b_i}=\frac{a_j}{b_j}$ 时取等

均值不等式链

$a>0$ 且 $b>0$ 时， $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ 当且仅当 $a=b$ 时取等

糖水不等式

$a>b>0$ ,且 $m>0$ 时 $\frac{b}{a}>\frac{b+m}{a+m}$

托勒密定理

圆内接四边形ABCD中 $AB\times CD+AD\times BC=AC\times BD $

任意四边形ABCD中 $AB\times CD+AD\times BC\ge AC\times BD $

因式分解技巧

$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)$

$a^3-b^3=(a+b)(a^2+b^2+ab)$

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+...+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$

$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$

二项式定理 $(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{a}^{n-i}{b}^i$

​ $(a+1{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{a}^{n-i}$

若关于 $x$ 的方程 $a_1{x}^n+a_2{x}^n+...+a_{n-1}x+a_n=0$ 存在有理根,则其中一个有理根为 $\frac{q}{p}(\forall p|a_1,q|a_n)$ 中的一个值

$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n-1)(2n+1)}{6}$

三角学

海伦公式

$△ABC$ 三边长分别为 $a$ , $b$ , $c$ , 令 $p=\frac{a+b+c}{2}$ ，则 $S_{△ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

正弦定理

$△ABC$ 中 $\angle A,\angle B,\angle C$ 对边分别为 $a,b,c$ ,其外接圆半径为 $R$ ,则 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

余弦定理

条件同上 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\to$ 若平行四边形两条邻边长为 $x,y$ 夹角为 $\theta$ 则其对角线长为 $\sqrt{x^2+y^2+2xy\cos \theta }$

和差化积

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\to a\cdot \sin \theta +b\cdot \cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\arctan (\frac{b}{a}))$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

——推论

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

若 $\tan \alpha =\frac{1}{2},\tan \beta =\frac{1}{3}$ ,则 $\alpha +\beta =45°,\tan (45°+\alpha )=2,\tan (45°+\beta )=3,\tan 2\alpha =\frac{4}{3},\tan 2\beta =\frac{3}{4}$

夹角公式

直线 $l_1:y_1=k_{1}x+b_1$ 与直线 $l_2:y_2=k_{2}x+b_2$ 的夹角 $\theta$ 的正切值为 $|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}|$

$\to$ 若 $k_1\cdot k_2=-1$ ,分母为0无意义？实际上此时夹角 $\theta =90°$ , $\tan \theta$ 无意义，可以反推。

基本性质(锐角)

${\sin }^2\alpha +{\sin }^2(90°-\alpha )={\cos }^2\alpha +{\cos }^2(90°-\alpha )=1$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

其他技巧

方差

$S^2$ 简化公式 $S^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2-n{\overline{x}}^2}{n}$

对于公差为 $d$ ,项数为 $n$ 的等差数列，其方差 $S^2=\frac{d^2}{12}(n^2-1)$

二次函数

二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 若存在零点 $x_1$ , $x_2$ ,记 $\Delta =b^2-4ac$ ，则 $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$

二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 上任意一点 $(t,a{t}^2+bt+c)$ 处的切线为 $y^{\prime }=(b+2at)x+c-a{t}^2$

若二次函数解析式 $y=a{x}^2+bx+c$ 中 $a$ , $c$ 一定 , $b$ 在变动时，其顶点落在 $y^{\prime }=-a{x}^2+c$ 上

集合

$(C_{U}A)\cup (C_{U}B)=C_U(A\cap B),(C_{U}A)\cap (C_{U}B)=C_U(A\cup B)$

$Card(A\cup B\cup C)=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(A\cap B)-Card(A\cap C)-Card(B\cap C)+Card(A\cap B\cap C)$