Tsinsen A1127 方格取数-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/AlexChan1584/article/details/51067768

本文探讨了一个复杂的动态规划（DP）问题，即如何通过两人同时从左上角移动到右下角的方式，使得经过每个格子时获得的最大得分最大化。详细解释了从逻辑上构建DP公式的方法，并提供了优化空间复杂度的技巧。代码实现展示了如何通过滚动数组进行空间优化。

http://oj.tsinsen.com/A1127

分析：对我来说挺有难度的dp，唉，还差得远了。

回归正题，这个题的dp从逻辑上讲是这么做的：假设有两个人同时从左上方往右下方走，状态dp[k][x1][y1][x2][y2]定义为走到第k步时两人分别到达（x1，y1）、（x2，y2），这时的最大得数。那么它就可由（x_1,2 + 1，y_1,2）和（x_1,2, y_1,2 + 1）的组合转移而来，并考虑两人是否走到同一方块上（不难证明这种状况必然发生在同一步），加上当前方块的得数。注意到x1+y1=x2+y2=k，考虑题目所给的编号，将初始态定义为第2步，就可写出新的dp公式，此外还可用滚动数组进一步优化空间复杂度，这些都是套路的东西了，具体参见代码。

代码：

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;

int n, Maps[15][15], dp[15][15], r, c, v;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    while (scanf("%d%d%d", &r, &c, &v), r)
        Maps[r][c] = v;
    for (int i = 2; i <= n + n; ++i)
        for (int u = min(i, n); u > 0; --u)
            for (int v = min(i, n); v > 0; --v) {
                dp[u][v] = max(dp[u][v], dp[u - 1][v - 1]);
                dp[u][v] = max(dp[u][v], dp[u - 1][v]);
                dp[u][v] = max(dp[u][v], dp[u][v - 1]);
                dp[u][v] += Maps[u][i - u];
                if (u != v) dp[u][v] += Maps[v][i - v];
            }
    printf("%d\n", dp[n][n]);
    return 0;
}