MATLAB：【2】矩阵处理

目录

 

2.1特殊矩阵

2.2矩阵变换

2.3矩阵求值

2.4矩阵的特征值与特征向量

2.5稀疏矩阵

---

2.1特殊矩阵

通用特殊矩阵

• zeros函数：零矩阵 zeros(m)    zeros(m,n)    zeros(size(A))
• ones函数：幺矩阵
• eye函数：单位矩阵
• rand函数：（0，1）区间均匀分布的随机矩阵
• randn函数：均值为0，方差为1的标准正态分布矩阵

用于专门学科的特殊矩阵

• magic函数：魔方矩阵
• vander函数：范德蒙矩阵，参数为向量
• hilb函数：希尔伯特矩阵，参数为阶数
• toeplitz函数：托普利兹矩阵
• compan函数：伴随矩阵，参数为多项式的系数向量
• pascal函数：帕斯卡矩阵（杨辉三角），参数为阶数

2.2矩阵变换

对角阵

• diag(v,k)：把向量v放置在第k条对角线上，k为正数表示右上，负数表示左下
• 数量矩阵：对角线元素相等的对角矩阵
• 单位矩阵：对角线元素为1的对角矩阵
• diag(A) 提取矩阵A对角线元素，产生列向量；参数为向量时，产生对角阵对角线为A
• diag(A,k) 提取矩阵A第k条对角线元素，产生列向量：参数为向量时，产生对角阵第k条对角线为A

三角阵

• 上三角阵：triu(A) 提取A的主对角线及以上元素；triu(A,k)提取A的第k条对角线及以上元素
• 下三角阵：tril(A) 提取A的主对角线及以下元素；tril(A,k)提取A的第k条对角线及以下元素

矩阵的转置

• 转置运算符：.'
• 共轭转置：’（转置基础上，取每个数的复共轭）

矩阵的旋转

• rot90(A,k) 将矩阵逆时针方向旋转90°的k倍

矩阵的翻转

• fliplr(A) 对矩阵A实施左右翻转
• flipud(A) 对矩阵A实施上下翻转

矩阵的求逆

• inv(A) 求逆

2.3矩阵求值

方阵的行列式

• det(A) 求方阵对应行列式的值

矩阵的秩

• rank(A)

矩阵的迹

• trace(A) :矩阵对角线元素的和，也表示矩阵的特征值之和

向量和矩阵的范数

• 向量1-范数：向量元素的绝对值之和    norm(V,1)
• 向量2-范数：向量元素平方和的平方根    norm(V)或norm(V,2)
• 向量∞-范数：所有向零元素绝对值中的最大值    norm(V,inf)
• 矩阵A的1-范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值    调用方式同上
• 矩阵A的2-范数：A'A矩阵的最大特征值的平方根    
• 矩阵A的∞-范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值    

矩阵的条件数

• 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积
• cond(A,1) 计算矩阵A的1-范数下的条件数
• cond(A) 或 cond(A,2) 计算矩阵A的2-范数下的条件数
• cond(A,inf) 计算A的∞-范数下的条件数

2.4矩阵的特征值与特征向量

• E=eig(A) 求矩阵A的全部特征值，构成向量E
• [X,D] = eig(A) 求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量

2.5稀疏矩阵

矩阵的存储方式

• 完全存储方式
• 稀疏存储方式

稀疏存储方式

• A = sparse(S) 将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A
• S = full(A) 将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S
• sparse(m,n) 生成一个mxn的稀疏0矩阵
• sparse(u,v,S)  其中u，v，S是三个等长向量。S是建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u，v是下标
• spconvert(A) 函数是直接建立稀疏存储矩阵，A为3或4列的矩阵，分别为行，列，实部，虚部
• 带状稀疏矩阵，非零元素集中在对角线的矩阵
• [B,d]=spdiags(A) 从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋值给矩阵B机器这些非零对角线的位置向量d
• A = spdiags(B,d,m,n) 产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A，其中m,n为原带状稀疏矩阵的行数和列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置
• speye(m,n) 返回一个mxn的系数存储单位阵