P3368 【模板】树状数组 2——树状数组

【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将某区间每一个数加上 $x$；

2. 求出某一个数的值。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$、$M$，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $N$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i $ 项的初始值。

接下来 $M$ 行每行包含 $2$ 或 $4$个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 $1$： 格式：1 x y k 含义：将区间 $[x,y]$ 内每个数加上 $k$；

操作 $2$： 格式：2 x 含义：输出第 $x$ 个数的值。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $2$ 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

样例输出 #1

6
10

提示

样例 1 解释：

故输出结果为 6、10。

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数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据：$N\le 8$，$M\le 10$；

对于 $70\%$ 的数据：$N\le 10000$，$M\le 10000$；

对于 $100\%$ 的数据：$1\le N,M\le 500000$，$1\le x,y\le n$，保证任意时刻序列中任意元素的绝对值都不大于 $2^{30}$。

暴力思想

1. 题目描述中用$n$表示数列个数，而$m$表示要操作的次数
2. 假设每次都使用操作1（将区间$[x,y]$内的数都加上$k$），且每次的区间$[x,y]$的大小都为$n$，即将数列中所有数都加上$k$
3. 那么总共有$m$次操作，而每次操作执行$n$次，复杂度为$O(mn)$
4. 我们用计算机一秒执行$10^8$来计算，因为$\sqrt{10^8}=10^4$，所以 $m$和$n$的最大值为$10^4$ ，也就是只能过掉70%的测试点

数据结构——树状数组

树状数组使用的是数据压缩的思想，再由二进制进行实现的一种数据结构，可以实现单点查询，区间修改查询等操作。相较于差分，树状数组总体复杂度更低，也更便捷。

lowbit()函数

lowbit()函数是最先要知道的，也是树状数组中使用二进制思想的那一部分，lowbit()函数返回的是一个数在二进制下最后一个1的位置

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

举个例子，假设$x=6$，那么6 & (-6) = 10(二进制下) = 2（十进制下），因为6的二进制为110，取最后一个1（110）

利用lowbit()函数建立树状数组(也就是单点修改操作) + 区间查询

建立树状数组：我们新建立一个数组，数组中第$i$位的值为输入数组中的一段区间和，这个区间的起点是$i-lowbit(i)+1$,长度是$lowbit(i)$，终点是$i$（代码中：k从1~n, x表示输入数组中第k位的值）

单点修改树状数组：（代码中：k表示要修改的数的下标, x表示要修改的数的值）

void build_tree(int k, int x){
	for(int i = k; i <= x; i += lowbit(i)){
		t[i] += x;//t[]是树状数组
	}
}

查询操作不是算区间的和，而是算两个前缀和的差

//如果要求第3位到第5位的和，那么就是求find(5)-find(2)
int ans;
int find(int x){//求第1位到第x位的和
	ans = 0;
	for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)){//与建树操作恰好相反
		ans += t[i];
	}
	return ans;
}

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区间修改

我们刚才讲的是区间查询和单点修改，可按照刚才的做法，依旧会超时，我们需要在通过差分的思想来实现进一步优化

差分：

差分就是用第$i$位表示$a[i]-a[i-1]$，如果我们要给区间[x, y]中的每一个值加上k，那么在差分数组中就表示为，$c[x]+=k;$ $c[y+1]-=k;$

1. 回到题目中，假设有一个6位的数组，我们把它的差分数组每一位的值从1~6进行编号。
2. 如果我们要将数组第1位到第4位之间所有数加上3，只需要将数组从{0 0 0 0 0 0}变成{3 0 0 0 -3 0}即可。
3. 当询问第3位时，答案就是【（输入的第3位的值）+ 3 + 0 + 0】。
4. 当询问第5位时，答案就是【（输入的第5位的值）+ 3 + 0 + 0 + 0 +（-3)】 = （输入的5的值）+ 0

void ChaFen(int k, int x){
	//c[]表示差分数组
	c[s] += x;//求ChaFen(1,3)和ChaFen(4+1,-3)就可以得到将数组第1位到第4位之间所有数加上3的操作了
}

在将已经建立的树状数组加进去

void ChanFen(int k, int x){
	for(int i = k; i <= n; i += lowbit(i)){
		t[i] += x;
	}
}

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; //由于元素的最大值可能达到2^30, 所以要开long long
const int N = 5e5 + 5;
ll n, m;
ll tmp, x, y, k;
ll a[N], t[N];//输入数组和树状数组
ll ans;

ll lowbit(ll x){
	return x&(-x);
}
ll find(ll x){
	ans = 0;
	for(ll i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)){
		ans += t[i];
	}
	return ans;
}
void ChaFen(ll k, ll x){
	for(ll i = k; i <= n; i += lowbit(i)){
		t[i] += x;
	} 
}

int main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i];
	}
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		cin >> tmp; 
		if(tmp == 1){
			cin >> x >> y >> k;
			ChaFen(x, k);
			ChaFen(y+1, -k);
		} else {
			cin >> x;
			cout << a[x] + find(x); 
		}
	}
	return 0;
}