［理论储备］单调栈

最新推荐文章于 2025-07-08 14:42:27 发布

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本文深入讲解单调栈的基本概念，探讨其在解决特定问题中的应用，如寻找相邻元素间的最大宽度等，通过具体实例剖析单调栈如何高效求解，并提供代码实现。

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1、介绍
单调栈：
单调递增或单调减的栈，跟单调队列差不多，但是只用到它的一端

单调栈的特性：

如果是单调递增的栈，那么从栈底到栈顶的元素是单调递增的；如果是单调递减的栈，那么从栈底到栈顶的元素是递减的。
越靠近栈顶的元素越后进栈。

单调栈的作用：
向坐（或向右）找到第一个比该元素大（或小）的元素。

2、Largest Rectangle in a Histogram

这是一道单调栈的模板题，我们通过它可以具体的了解到单调栈的作用以及操作。
对于该题，对于一个高为H[i]的矩形，它的宽度最大为k-j（H[i->k] <= H[i] && H[j->i] <= H[i]）
我们可以分别定义一个L数组和一个R数组。他们满足：
L[i] = (j <= i &&H[j-1] < H[i]的最大的j)
R[i] = (j > i && H[j+1] < H[i]的最小的j)
此时，我们就可以使用两次单调栈来完成这道题了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;


const int MAXN = 100000 + 10;

long long H[MAXN];
int L[MAXN], R[MAXN], s[MAXN]; 
int n;

int main () {
	int p;
	while (scanf("%d", &n) && n != 0) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%llu", &H[i]);
		}
		s[0] = 0;
		H[0] = -1;
		p = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			while (H[s[p]] >= H[i]) {
				p--;
			}
			L[i] = s[p] + 1;
			s[++p] = i;
		} 
		s[0] = n+1;
		H[n+1] = -1;
		p = 0;
		for (int i = n; i >= 1; i--) {
			while (H[s[p]] >= H[i]) {
				p--;
			}
			R[i] = s[p];
			s[++p] = i;
		}
		long long ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			ans = max(ans, (R[i] - L[i]) * H[i]);
		}
		printf("%lld\n", ans);
	} 
	return 0;
}

3、一些习题

①、Bad Hair Day POJ - 3250

分析：一个非常简单的单调递减的栈。

代码：

#include <cstdio>

using namespace std;

const int MAXN = 80000 + 20;

int p[MAXN], s[MAXN];

int main () {
	long long ans = 0;
	int n, index = 0;
	scanf("%d", &n);
	s[0] = n;
	p[n] = 1000000001; // 为了防止溢出 
    // 输入数据
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &p[i]);
	}
    // 开始判断每头奶牛可以看到几头奶牛
	for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
		while (p[i] > p[s[index]]) {
			index--;
		}
		ans = ans + s[index] - i - 1;
		s[++index] = i;
	}
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}

②、Feel Good POJ - 2796

分析：跟例题几乎一模一样，相当于把ai同时是第i个矩形的宽和高就可以了。要注意所有元素都是零的情况，我就因此卡了很久。

代码：

#include <cstdio>

using namespace std;

const int MAXN = 100100;

unsigned long long A[MAXN], B[MAXN], ans = 0;
int n, s[MAXN], L[MAXN], R[MAXN], l = 0, r = 1;

int main () {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%llu", &A[i]);
		B[i] = A[i] + B[i-1];
	}
	int index;
	A[0] = 0; A[n+1] = 0;
	index = 0; s[0] = 0; 
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		while (A[i] != 0 && A[i] <= A[s[index]]) {
			index--;
		}
		L[i] = s[index];
		s[++index] = i;
	}
	index = 0; s[0] = n+1;
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		while (A[i] != 0 && A[i] <= A[s[index]]) {
			index--;
		}
		R[i] = s[index]-1;
		s[++index] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if ((B[R[i]] - B[L[i]]) * A[i] > ans) {
			ans = (B[R[i]] - B[L[i]]) * A[i];
			l = L[i]; r = R[i];
		}
	}
	printf("%llu\n%d %d", ans, l+1, r);
	
	return 0;
}

③、Largest Submatrix of All 1’s POJ - 3494 ⭐

分析：这道题其实也是例题的变种，就是相当于每一个矩形的高是需要我们自己算出来的，然后在使用单调栈计算面积。
矩阵中每个元素的高度，就是它以及它以上连着的元素有几个为1的。
这样一个矩阵：
0 0 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
1 1 1 1
0 1 1 0
他每个的元素高为
0 0 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
1 2 1 2
0 3 2 0

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 2010;
int matrix[MAXN][MAXN], H[MAXN][MAXN], L[MAXN], R[MAXN], s[MAXN], n, m, ans;

int main () {
	while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
		ans = 0; 
		// 读取数据 
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= m; j++) {
				scanf("%d", &matrix[i][j]);
			}
		}
		// 计算每个元素的高度 
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				if (matrix[i][j] == 1) {
					H[i][j] = H[i-1][j] + 1;
				} else {
					H[i][j] = 0;
				} 
			}
		}
		// 计算每个矩形的最大宽度 
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			int index; H[i][0] = -1; H[i][m+1] = -1;
			s[0] = 0; index = 0;
			for (int j = 1; j <= m; j++) {
				while (H[i][s[index]] >= H[i][j]) {
					index--;
				}
				L[j] = s[index];
				s[++index] = j;
			}
			s[0] = m+1; index = 0;
			for (int j = m; j >= 1; j--) {
				while (H[i][s[index]] >= H[i][j]) {
					index--;
				}
				R[j] = s[index];
				s[++index] = j;
			}
			for (int j = 1; j <= m; j++) {
				ans = max(ans, (R[j] - L[j] - 1) * H[i][j]);
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	
	return 0;
}