[理论储备]博弈论

主要内容来自《挑战程序设计竞赛》以及《ACM国际大学生程序设计竞赛算法与实现》， 这里只是我的理解以及总结。也许会有很多不足，欢迎提出不同意见，谢谢！

一、游戏与必胜策略
1.硬币游戏1

Alice和Bob在玩这样一个游戏。给定k个数字a1, a2, …, ak。一开始，有x枚硬币，Alice和Bob轮流取硬币。每次所取硬币的枚数一定要在a1, a2, …, ak当中。Alice先取，取走最后一枚硬币的一方获胜。当双方都采取最优策略时，谁会获胜？题目假定a1, a2, …, ak中一定有1。

这是一个递推的过程：

1. 当硬币为0时，此时取硬币的人必输
2. 当j-ai为必输的，那么此时必赢；当j-ai为必赢的，那么此时必输
   代码：

#include <cstdio>

using namespace std;

const int MAXK = 105;
const int MAXN = 10005;

int k, x, A[MAXK]; 
bool win[MAXN]; // 当win[i]为true时表示有i个硬币时Alice赢， 为false表示Bob赢 

void read () {
	scanf("%d%d", &x, &k);
	for (int i = 0; i < k; i++) {
		scanf("%d", &A[i]);
	}
}

// 解决这个问题的核心代码
void solve () {
	win[0] = false; // 先手时Alice，此时Alice输了
	
	// 使用动态规划解决该问题 
	for (int i = 1; i <= x; i++) {
		win[i] = false; // 先设置为false是为了不影响或运算 
		for (int j = 0; j < k; j++) {
			// 因为都采用最优策略，所以只要有一种情况Bob必输，此时Alice就必赢, 否则Bob必赢 
			win[i] = win[i] | (A[j] <= i && !win[i - A[j]]);
		}
	} 
}

int main () {
	read();
	solve(); 
	if (win[x]) printf("Alice");
	else printf("Bob");
	return 0;
} 

2.A Funny Game

当第一个人取走第一枚或者两枚硬币，第二个只要同样取走一枚或两枚硬币，将硬币均匀的分为两个部分，之后只要第二个人永远模仿第一个人在另外一堆硬币里取硬币。那么第二个人一定会胜。唯一例外的情况，第一个一次就能将硬币取完。
代码：

#include <cstdio> 

using namespace std;

int main () {
	int n;
	while (scanf("%d", &n) && n != 0) {
		if (n <= 2) printf("Alice\n");
		else printf("Bob\n");
	}
	return 0;
}

在类似A Funny Game的游戏中，模仿对方往往是非常有效的
3.Euclid’s Game
这道题也是一个递推的过程：
先假设 b>a,

1. b - a > a。那么如果下一态为必胜态，此态则为必败态。
2. b - a >= a。此态永远为必胜态。因为如果1这种情况的下一态是必胜态，那么可以让对方先进入1这种情况，自己就会进入必胜态；如果1这种情况的下一态是必败态，那么就可以一次性把所有能减的都减完，对方就会进入必败态。

所以哪一个人先进入第二种状态，那个人就一定会胜。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

bool solve (long long a, long long b) {
	if (a > b) swap(a, b);
	if (a == b|| b >= 2 * a) return true;
	else return !solve(b-a, a);
}

int main () {
	long long a, b;
	while (scanf("%lld%lld", &a, &b) && a != 0) {
		if (solve(a, b)) printf("Stan wins\n");
		else printf("Ollie wins\n");
	}
	return 0;
} 

必胜态总能转移到某个必败态。
二、Nim

1.Nim游戏
对于Nim游戏先手赢的唯一条件就是A1 xor A2 xor A3 xor … xor An != 0.
原因如下：

1. 必胜态时(XOR不为零时) , 总能从一堆石头中选出若干个石头使其XOR值变为0，进入必败态。
2. 当必败态时(XOR为零时), 取走任意颗石头XOR一定不再为零，所以必败态一定会转移到必胜态

#include <cstdio>

using namespace std;

int N;
int main () {
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		scanf("%d", &N);
		int a = 0, b;
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			scanf("%d", &b);
			a = a ^ b;
		}
		if (a != 0) printf("Yes\n");