仿射密码 -- 逆元

原创已于 2022-03-03 12:33:31 修改 · 4k 阅读

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#密码学

于 2022-01-14 16:08:15 首次发布

本文介绍了仿射密码的加密和解密原理，重点讲解了乘法逆元在解密过程中的关键作用。通过数学算法步骤展示了如何找到一个数关于模的乘法逆元，并通过示例解释了如何使用该算法求解逆元。最后，讨论了互质条件对存在乘法逆元的影响，以及在密码学中如何利用这些概念进行加密和解密。

仿射密码是一种替换密码。它是一个字母对一个字母的。它的加密函数是：

$E(x) = ax + b\: (mod \, \, \, \, m)$

其中a和m互质，m是字母的数目。解密函数是：

$D(x) = a^{-1}(x-b)\:\: \: \: (mod \: \: \: \: m)$

其中加密函数中的 $E(x)$ ，即y 对应解密函数中的 $x$

同理，加密函数中的 $x$ 对应解密函数中的 $D(x)$

$a^{-1 }$ 是 a 关于模m的乘法逆元

故有： $(a^{-1} * a) \: \: \: mod\, \, \, \, m = 1$

乘法逆元，数学算法步骤：

若存在 $a*b \: \: \: mod \, \, \, n =1$

则称 b 是a 的模 n 的乘法逆元，同理，a 是 b 的模 n 的乘法逆元

若在已知：a，n的情况下，求 a 的逆元

则设 $x_{1} ,x_{2},x_{3 }$ ， $y_{1} ,y_{2},y_{3}$

令 $x_{1} ,x_{2},x_{3 } = 1,0,n$

$y_{1} ,y_{2},y_{3}=0,1,a$

引入 Q = max_int ( $x_{3}/y_{3}$ )

引入 $t_{1} = x_{1} - Q*y_{1}$

$t_{2} = x_{2} - Q*y_{2}$

$t_{3} = x_{3} - Q*y_{3}$

使 $x_{1} ,x_{2},x_{3 } =y_{1} ,y_{2},y_{3 }$

$y_{1} ,y_{2},y_{3 } =t_{1} ,t_{2},t_{3 }$

查看 $y_{3 }$ 取值，若 $y_{3 }=1$ ，则此时 $y_{2}$ 即为所求逆元；若 $y_{2}$ 数值为负数，则将 $y_{2} + n$ 后的数值即为所求逆元

例：求 67 mod 119 的逆元？

则设 $x_{1} ,x_{2},x_{3 }\: \: \: y_{1} ,y_{2},y_{3}$

令 $x_{1} ,x_{2},x_{3 } = 1,0,n = 1,0,119$

$y_{1} ,y_{2},y_{3}=0,1,a=0,1,67$

引入 $Q = max$ _ $int(x_{3}/y_{3}) = 119/67=1$

引入 $t_{1} = x_{1} - Q*y_{1} = 1-1*0=1$

$t_{2} = x_{2} - Q*y_{2}=0-1*1=-1$

$t_{3} = x_{3} - Q*y_{3}=119-1*67=52$

使 $x_{1} ,x_{2},x_{3 } =y_{1} ,y_{2},y_{3 }=0,1,67$

$y_{1} ,y_{2},y_{3 } =t_{1} ,t_{2},t_{3 }=1,-1,52$

此时 $y_{3 }=52$ ，故需要继续循环算下去

$x_{1} ,x_{2},x_{3 } =0,1,67$

$y_{1} ,y_{2},y_{3 } =1,-1,52$

$Q = max$ _ $int(x_{3}/y_{3}) = 67/52=1$

$t_{1} = x_{1} - Q*y_{1} = 0-1*1=-1$

$t_{2} = x_{2} - Q*y_{2}=1-1*\left ( - \right )1=2$

$t_{3} = x_{3} - Q*y_{3}=67-1*52=15$

此时 $x_{1} ,x_{2},x_{3 } =y_{1} ,y_{2},y_{3 }=1,-1,52$

$y_{1} ,y_{2},y_{3 } =t_{1} ,t_{2},t_{3 }=-1,2,15$

此时 $y_{3 }=15$ ，故需要继续循环算下去

$x_{1} ,x_{2},x_{3 } =1,-1,52$

$y_{1} ,y_{2},y_{3 } =-1,2,15$

Q = max _ $int(x_{3}/y_{3}) = 52/15=3$

$t_{1} = x_{1} - Q*y_{1} = 1-3*(-1)=4$

$t_{2} = x_{2} - Q*y_{2}=-1-3*2=-7$

$t_{3} = x_{3} - Q*y_{3}=52-3*15=7$

此时 $x_{1} ,x_{2},x_{3 } =y_{1} ,y_{2},y_{3 }=-1,2,15$

$y_{1} ,y_{2},y_{3 } =t_{1} ,t_{2},t_{3 }=4,-7,7$

额此时 $y_{3 }=7$ ，继续循环。。。

$x_{1} ,x_{2},x_{3 } =-1,2,15$

$y_{1} ,y_{2},y_{3 } =4,-7,7$

$Q = max$ _ $int(x_{3}/y_{3}) = 15/7=2$

$t_{1} = x_{1} - Q*y_{1} = -1-2*(4)=-9$

$t_{2} = x_{2} - Q*y_{2}=2-2*(-7)=16$

$t_{3} = x_{3} - Q*y_{3}=15-2*7=1$

此时 $x_{1} ,x_{2},x_{3 } =y_{1} ,y_{2},y_{3 }=4,-7,7$

$y_{1} ,y_{2},y_{3 } =t_{1} ,t_{2},t_{3 }=-9,16,1$

y3 = 1，y2 = 16；故此时y2 的值即为所求逆元解

67 mod 119 的逆元为 16

可逆推 16 mod 119 的逆元，求得：y3=1 时，y2 = -52，则逆元为 y2 + n = -52 + 119 = 67

即16 mod 119 的逆元为 67

（也可以借助函数，试错，得到 $a^{-1 }$ ）

# (a  *  An)  % m   = 1
# 求a关于模m的逆元An

def niyuan(a, m):
    for An in range(m):
        #print(An)
        if a * An % m == 1:
            print("%d 是a关于m的逆元" % (An))
    return An

一般情况下，当a与m互素时，a关于模m的乘法逆元可解；如果不互质，则无解

且若m为质数，则从1到m-1的任意数都与m互质，即在1到m-1之间都恰好有一个关于模m的乘法逆元

则在已知a,b,m的情况下，可以利用加密函数来对明文加密，明文字母加密后的字母对应表：

# ascii 0-25 + 65 对应字母  m + 65
# a * i + b mod m   +65
# 函数：已知a,b,m 对字母加密的对照表

def encrype(a, b,m):
    for i in range(m):
        print(chr(i + 65) + ": " + chr(((a * i + b) % m) + 65))

已知 $a^{-1}$ ，b，m的情况下，可以利用解密函数来对密文解密，密文字母解密后与明文的对应表

# ascii 0-25 + 65 对应字母  m + 65
# An *( i - b)  mod m   + 65
# 函数：已知An,b,m 对字母解密的对照表

def decrype(An,b,m):
    for i in range(m):
        print(chr(i + 65) + ": " + chr((An*(i - b) % m) + 65))