图--分类及存储结构（数据结构）

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本文介绍了图论中的基本概念，包括无向图与有向图的定义、连通性和生成树等，并详细阐述了图的两种主要存储结构——邻接矩阵与邻接表的特点及其适用场景。

无向图：
1）度：有几条边和该点相连，该点的度就是几。
2）连通图:无向图中，若任意两点之间都有路径相连（不一定是直接相连），则该图是连通图（或者该图中能找到一条路径，包含所有的点，那么该图也为连通图）。
3）连通分量：无向图中的极大连通子图，称为该图的连通分量（所谓极大，就是顶点尽量多）。若图本身连通，则连通分量唯一，是其自身。
4）生成树：连通图的一个含有全部顶点的子图，如果其连通且极小，那么该图就是一颗最小生成树（若图有n个顶点，则有（n-1）条边）。
5）树是含边数最少的连通图，一个含n个点的连通图最少含有（n-1）条边；若一个图含有（n-1）条边，那么该图一定是连通图；若含有n个点的图含有少于（n-1）条边，那么该图一定不连通，若含有多余（n-1）条边，那么该图一定有回路。
6）对于非连通图，由各个连通分量的生成树组成的集合称为此非连通图的生成森林。
有向图：
1）度：以该点为弧头的边（弧的箭头指向该点）有几条，该点的入度就是几，以该点为弧尾的边有几条，该点的出度就是几，该点的度为出度和入度的和。
2）强连通图：有向图中，若任意两点之间都存在一条有向路径，那么该图为强连通图。
3）强连通分量：有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。（无向图称为连通分量和连通图，有向图称为强连通分量和强连通图。）
图的存储结构–邻接矩阵
1）邻接矩阵：行、列各对应一个顶点，若行对应的顶点i到列对应的顶点j之间有弧相连，则A[i][j]=1,否则等于0，若为网（即每条弧都有其对应的权值），则A[i][j]=w,或无穷。（如图有n个点，则邻接矩阵是n*n阶的）

2）无向网的临界矩阵存储代码：

typedef char VertexType;
#define INFINITY 32767 //无穷
#define MVNUM 100//最大顶点数

//弧的定义
typedef struct
{
   int adj;//邻接数，即若两点之间有边则为1，没有边则为0，如果是网，就是这条边上的权值
   InfoType *info;//弧的附加信息，到现在还没接触到有的，可以暂时不用考虑 
}ArcType;

//图的定义
typedef struct
{
   int vexnum,arcnum;//顶点数，边数
   VertexType vexs[MVNU];//存边需要先知道有哪些点
   ArcType arcs[MVNUM][MVNUM];//弧是用来存边的，边用两个顶点来表示，需要用二维数组
}MGraph;


//以创建无向网为例，给出代码
Status CreatUDN(MGraph &G)
{
    scanf("%d%d",&G.vexnum,&G.arcnum);//输入顶点数和边数（如果弧有附加信息，则需要再输入附加信息）
    for(int i = 0;i < G.vexnum;++i)
    {
        scanf("%c",&G.vexs[i]);//输入各个顶点
        //先将各条边的权值初始化为无穷大
        for(int j = 0; j < G.arcs; ++j)
        {
            G.vexs[i][j] = INFINITY;
        }
    }

    for(int k = 0;k < G.arcnum; ++k)
    {
        char u,v;
        int w;
        scanf("%c%c%d",&u,&v,&w);//输入两个顶点和该条边的权值
        //因为输入的点是字符型的，所以要先在图中找到其对应的下标

        int i = LocateVex(G,u);
        int j = LocateVex(G,v);//u,v对应的下标分别是i和j
        G.arcs[i][j] = w;
        G.arcs[j][i] = w;//因为是无向网，所以一条边，既是ij，也是ji

    }
}

3）邻接矩阵存储的优缺点：邻接矩阵存储，易求顶点的度，邻接点，易判断两点之间是否有边或弧相连，但是不利于稀疏图的存储，较浪费空间。

4.图的存储结构–邻接表
1）邻接表：一个顶点数组，每个顶点对应着它所有的邻接点。
2）以有向网为例，建立邻接表，给出代码


//以有向网为例，给出邻接表的代码
typedef char VertexType;
#define INFINITY 32767 //无穷
#define MVNUM 100//最大顶点数

//弧的定义
typedef struct ArcNode
{
    int adjvex;
    struct ArcNode *nextarc;
    InfoType* info;//弧的附加信息，可以暂时不考虑
}ArcNode;

typedef struct VexNode
{
    char data;
    ArcNode *firstarc;
}VexNode,AdjList[MVNUM];
typedef struct
{
    int vexnum,arcnum;//图的顶点数，边数
    AdjList vertices;//
}MGraph;

Status CreatDN(MGraph &G)
{
    scanf("%d%d",&G.vexnum,&G.arcnum);
    for(int i = 0; i < G.vexnum; ++i)
    {
        scanf("%c",&G.vertices[i].data);//输入各个顶点
        G.vertices[i].firstarc = NULL;//将各个顶点的第一条边初始化为空
    }

    for(int i = 0;i < G.arcnum; ++i)
    {
        char u,v;
        int w;
        scanf("%c%c%d",&u,&v,&w);//输入一条"边"和它的权值
        int i = LocateVex(G,u);
        int j = LocateVex(G,v);//输入的点是字符型的，需要在图里面找到它对应的下标
        ArcNode arc = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));//因为下面需要将该边放到第一条边的位置上，所以这里定义一条边，便于操作
        arc.adjvex = j;
        arc.nextarc = G.vertices[i].firstarc;//将该边放到第一条边的位置上
        G.vertices[i].firstarc = arc;
    }

    return OK;
}

 3）无向图建立邻接表，需要n个头结点（有n个点），2e个边节点（2e条边）
 4）邻接表存储的优缺点：对于有向图，易求点的出度和邻接点，但是不容易求入度。