树的结点数+蒲丰投针概率

1.已知一棵度为k的树中有n1个度为1的结点,n2个度为2的结点,…,nk个度为k的结点,问该树中有多少个叶子结点?
设该树中的叶子数为n0个.该树中的总结点数为n个,则有：
n=n0+n1+n2+…+nK     (1)

又由于：总结点数-1 = 度数
n-1=0*n0+1*n1+2*n2+…+K*nK       (2)
联立(1)(2)方程组可得：
叶子数为：n0=1+0*n1+1*n2+2*n3+...+(K-1)*nK

2.著名的蒲丰投针概率问题，在一个平面上有无线条间距为H的平行线，一根针长度为h（H>h），投掷这根针，使之落在平面上，问，针与线有交点的概率？

1777年法国科学家 布丰 提出的一种计算 圆周率 的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。

投针步骤

这一方法的步骤是：

1） 取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

2） 取一根长度为l（l=a/2） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m

3）计算针与直线相交的概率．

18世纪，法国数学家 布丰 和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的 平行线 ，将一根长度为l（l=a/2）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的 概率 。”布丰本人证明了，这个概率是：

p=2l/（πa）π为 圆周率

利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。

因此，本题答案为2h / (πH) 。

 

蒙特卡洛 方法：

在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用 概率模型 进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用 Monte Carlo 方法。下面通过例子简单介绍 Monte Carlo 方法的基本思想．

Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城—— 摩纳哥 的 蒙特卡洛 ， 其历史起源于 1777 年法国科学家 蒲丰 提出的一种计算圆周π 的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个 概率模型 ，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量． 然后通过模拟一统计试验， 即多次随机抽样试验 （确定 m和 n） ，统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数． 蒙特卡洛方法 属于试验数学的一个分支．