最长回文子串---马拉车算法

开始在leetcode上做题啦，以后见到有难度的/值得记录的/自己看了解析之后才能做出来的题都尽量以博客的形式做总结，加油加油?
leetcode第5题 给出字符串，要求我们从中求出最长回文子串

回文串定义

首先呢，先明确一下什么是回文串：回文串就是正序读倒序读都一样的字符串，也就是他是轴对称的（这个轴可以是字符串之间的空隙 也可以是字符本身）

判断一个字符串是否是回文串

这个任务是简单的是简单的，用双向指针的方式可以判断，可是怎么求出最长的回文子串，让我们往下看

最长回文串

方法1:暴力求解

比较暴力的方法，找到这个字符串所有的子串并进行逐一判断…
这种方法的时间是$O(n^3)$ ，其中子串的个数$O(n^2)$,每次判断回文的时间开销为$O(n)$，这样看来还是比较慢的

方法2:马拉车算法

那么现在开始介绍神奇的马拉车算法
在介绍马拉车算法前，我们先来考虑下面的这个判断是否回文串的算法:
对于字符串s，我们以迭代元素为中心向两边进行拓展,判断一个字符串是不是回文子串，具体看下图

这样跟之前双向指针判断是不是回文串的方式其实差不多，只是之前是从两边向中间搜索，现在是从中间向两边搜索
那么为什么要做这样的改动呢? 回想一下一开始我们怎么描述回文串的，我们说，回文串是中心对称的，就像照镜子一样
那么我们来看下面的例子:

可以看到，在这个字符串中，以第3个元素b为中心，能构成的回文串为"aba"，是原字符串的第2-4位。
以第5个元素d为中心，能构成的回文串为"abadaba",在已知这两个回文子串的情况下，我们能推导出什么有用的信息呢?
让我们来看看第7个元素b，我们会发现，他是6-8位回文的，而且回文串跟是"aba"跟我们前面提到的是一样的！
在这里我们是利用回文串的性质——镜面对称，不需要通过双向计算的方式，就可以直接推导出后面的回文子串。
同理我们可以推导以第6个元素为中心的回文串长度和 以第4个元素为中心的回文串长度相同
不过这种情况其实还是有点特殊了，那我们换一个例子再接着看:

让我们把这个字符串改变一下，假如这个字符串是下面这样
cabadabad
通过前面的迭代我们知道了第3位为中心的回文，和第5位为中心的回文，如下

那么根据我们刚刚讲的，就可以推导出第7位为中心的回文如下

但是我们观察得到，第7位的回文完整的应该是像下面这样的:

也就是，我们需要在之前推导得到的基础上再继续计算才能得到答案。
那么现在我们思考，什么情况下可以直接从推导得到答案而不用继续计算下去，什么时候需要继续计算呢。
让我们再review刚刚的例子，在已知第3位为中心的回文，和第5位为中心的回文情况下(即下图),

像我们刚刚讲的那样，第7位的回文是需要继续计算下去的。再观察第6位，第6位回文可以通过第4位回文直接得到，而不用继续计算下去。

观察对比这两个回文串的位置我们就可以看出端倪了。第5位回文串给到的信息只在第8位为止，第9位之后的都是未知信息。而以第七位为中心的回文串正好在这个已知信息和未知信息的边缘，因此需要继续计算下去

不过在实际编码的时候还有一点是需要注意的，在这里我们讨论的回文串都是以字母为对称中心的（也就是回文串为奇数），但是假如回文串是以字母之间的空隙（也就是这个回文串是偶数的）为中心那就不好处理了，因此在实际编码中我们会对原字符串进行处理，往两个字母之间的空隙加一个特殊字符"*"
比如说，原字符是这样的:
abds
那么加入了特殊字符之后是这样的
a*b*d*s*
加入特殊符号是不影响原字符串的判断的，而且把字母对称的情况和空隙对称的情况统一了，方便处理

马拉车算法将这个问题的时间复杂度降到了$O(n)$,一开始不是太懂为什么是$O(n)$，参考了其他博客:虽然代码本身还是两层循环，但是在循环的过程中，要么是在扩展右边界，要么就可以直接的出结论，因此算法时间可以认为到$O(n)$.(不过感觉这个算法波动比较大，只能说是小于$O(n^2)$，但要说是不是$O(n)$我觉得我不太能确定)
最后用伪代码的形式总结一下处理的方法

1. 对原字符串进行预处理，往空隙加入特殊字符"*"，创建一个数组来记录以该字符为中心的回文串大小
2. 遍历字符串，对于处理后的字符串中的每一个字符，我们先看看他是否在左右边界之内，如果是的话，就可以用已有的信息对称得到目前的回文
3. 如果当前的回文不在左右边界之内了，那么需要继续拓展，并更新右边界
4. 最后去掉特殊符号就可以得到最长回文串了

代码

C++代码如下:

class Solution {
public:
	string longestPalindrome(string s) {
		if (s.length() == 0)return s;
		const int amount = 2000;//s最长长度为amount
		int plen[amount];
		int rightBound = 0;//回文串的右边界
		int longestCenter = 0;//最长回文串对应的中心下标
		int longestLen = 1;
		int centreIndex = 0;//rightBound对应的中心下表
		string ss = prepocess(s);//processString 往中间加#

		int len = ss.length();
		plen[0] = 1;
		for (int i = 1; i < len; i++)
		{
			if (i < rightBound && (2 * centreIndex - i) >= 0)//在右边界之内（不等于右边界） 且镜面在字符串范围内
			{
				int leftBound = 2 * centreIndex - rightBound;
				if ((2 * centreIndex - i) - plen[2 * centreIndex - i] / 2 > leftBound)//两个左边界比较
					plen[i] = plen[2 * centreIndex - i];

				else {
					plen[i] = (2 * centreIndex - i) - leftBound;
					plen[i] = getPlen(ss, i, plen[i] / 2);
				}
				int rightIBound = i + plen[i] / 2;
				if (rightIBound >= rightBound) {
					plen[i] = getPlen(ss, i, plen[i] / 2);
				}
			}
			else // 没办法利用以有信息
			{
				plen[i] = getPlen(ss, i, 0);
			}
			//更新右边界
			if (i + (plen[i] / 2) > rightBound)
			{
				rightBound = i + plen[i] / 2;
				centreIndex = i;
				//cout << "更新右边界为" << rightBound << endl;
			}
			//更新最长回文串对应的下标
			if (plen[i] > longestLen)
			{
				longestCenter = i;
				longestLen = plen[i];
			}

		//范围为 [longestCenter - longestLen / 2, longestCenter + longestLen / 2];

		string answer(longestLen, '0');
		int j = 0;
		for (int i = longestCenter - longestLen / 2; i <= longestCenter + longestLen / 2; i++) {
			if(i< ss.length() && ss[i] != '#')
				answer[j++] = ss[i];
		}
		//cout << "最终answer 的长度为" << j << endl;
		return answer.substr(0, j);

	}
	//startLen是指左/右边界的【范围】（指长度）有多大了
	int getPlen(string s, int center, int startLen)//get回文串长度
	{
		int len = s.length();
		int i, j;
		i = center - startLen - 1;
		j = center + startLen + 1;
		for (; i >= 0 && j < len; i--, j++) {
			if (i < 0 || j >= len) break;
			if (s[i] == s[j]) {
				startLen++;
			}
			else break;
		}
		return startLen * 2 + 1;
	}
	string prepocess(string s)
	{
		string ss(s.length() * 2, 's');
		int len = s.length();
		char addition = '#';
		for (int i = 0; i < len; i++)
		{
			//往原字符串中间的空隙加字符
			ss[i * 2] = s[i];
			ss[i * 2 + 1] = addition;
		}
		return ss;
	}
};

方法三：KMP

等看了KMP之后再补充…