三线性插值(Trilinear Interpolation)详解

本文详细介绍了三线性插值的概念和计算过程,这是一种用于多维数据插值的方法。通过x、y、z三个轴的逐步插值,确定目标点的值。该方法适用于在立方体网格中的数据点进行平滑插值,顺序无关,结果一致。

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三线性插值(Trilinear Interpolation)详解
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xd=x−x0x1−x0,yd=y−y0y1−y0,zd=z−z0z1−z0 x_d=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}, y_d=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}, z_d=\frac{z-z0}{z_1-z_0} xd=x1x0xx0,yd=y1y0yy0,zd=z1z0zz0
x0表示在x下方一个方格点,x1表示在x上方的一个方格点,对于y0、y1、z0、z1是同样的意思。
xd、yd、zd表示x、y、z在较小相关坐标的差值(这是维基百科中的解释)

首先,我们沿着x轴方向插值
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c00=V[x0,y0,z0](1−xd)+V[x1,y0,z0]xd c_{00}=V[x_0,y_0,z_0](1-x_d) + V[x_1,y_0,z_0]x_d c00=V[x0,y0,z0](1xd)+V[x1,y0,z0]xd
c01=V[x0,y0,z1](1−xd)+V[x1,y0,z1]xd c_{01}=V[x_0,y_0,z_1](1-x_d) + V[x_1,y_0,z_1]x_d c01=V[x0,y0,z1](1xd)+V[x1,y0,z1]xd
c10=V[x0,y1,z0](1−xd)+V[x1,y1,z0]xd c_{10}=V[x_0,y_1,z_0](1-x_d) + V[x_1,y_1,z_0]x_d c10=V[x0,y1,z0](1xd)+V[x1,y1,z0]xd
c11=V[x0,y1,z1](1−xd)+V[x1,y1,z1]xd c_{11}=V[x_0,y_1,z_1](1-x_d) + V[x_1,y_1,z_1]x_d c11=V[x0,y1,z1](1xd)+V[x1,y1,z1]xd
V[x0,y0,z0]V[x0,y0,z0]V[x0,y0,z0]表示该函数在(x0,y0,z0)上的值, 然后再沿着y轴插值
c0=c00(1−yd)+c10yd c_0=c_{00}(1-y_d)+c_{10}y_dc0=c00(1yd)+c10yd
c1=c01(1−yd)+c11yd c_1=c_{01}(1-y_d)+c_{11}y_dc1=c01(1yd)+c11yd
最后再沿着z轴插值
c=c0(1−zd)+c1zdc=c_0(1-z_d)+c_1z_dc=c0(1zd)+c1zd

如此我们就得到了一个点的值。三线性插值的结果与沿三个轴的插值步骤的顺序无关:任何其他顺序,例如沿x,然后沿y,最后沿z,产生相同的值。
根据以上推导公式我们可以得到一个完整的公式

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