三线性插值(Trilinear Interpolation)详解

本文详细介绍了三线性插值的概念和计算过程,这是一种用于多维数据插值的方法。通过x、y、z三个轴的逐步插值,确定目标点的值。该方法适用于在立方体网格中的数据点进行平滑插值,顺序无关,结果一致。

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三线性插值(Trilinear Interpolation)详解
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xd=x−x0x1−x0,yd=y−y0y1−y0,zd=z−z0z1−z0 x_d=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}, y_d=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}, z_d=\frac{z-z0}{z_1-z_0} xd=x1x0xx0,yd=y1y0yy0,zd=z1z0zz0
x0表示在x下方一个方格点,x1表示在x上方的一个方格点,对于y0、y1、z0、z1是同样的意思。
xd、yd、zd表示x、y、z在较小相关坐标的差值(这是维基百科中的解释)

首先,我们沿着x轴方向插值
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c00=V[x0,y0,z0](1−xd)+V[x1,y0,z0]xd c_{00}=V[x_0,y_0,z_0](1-x_d) + V[x_1,y_0,z_0]x_d c00=V[x0,y0,z0](1xd)+V[x1,y0,z0]xd
c01=V[x0,y0,z1](1−xd)+V[x1,y0,z1]xd c_{01}=V[x_0,y_0,z_1](1-x_d) + V[x_1,y_0,z_1]x_d c01=V[x0,y0,z1](1xd)+V[x1,y0,z1]xd
c10=V[x0,y1,z0](1−xd)+V[x1,y1,z0]xd c_{10}=V[x_0,y_1,z_0](1-x_d) + V[x_1,y_1,z_0]x_d c10=V[x0,y1,z0](1xd)+V[x1,y1,z0]xd
c11=V[x0,y1,z1](1−xd)+V[x1,y1,z1]xd c_{11}=V[x_0,y_1,z_1](1-x_d) + V[x_1,y_1,z_1]x_d c11=V[x0,y1,z1](1xd)+V[x1,y1,z1]xd
V[x0,y0,z0]V[x0,y0,z0]V[x0,y0,z0]表示该函数在(x0,y0,z0)上的值, 然后再沿着y轴插值
c0=c00(1−yd)+c10yd c_0=c_{00}(1-y_d)+c_{10}y_dc0=c00(1yd)+c10yd
c1=c01(1−yd)+c11yd c_1=c_{01}(1-y_d)+c_{11}y_dc1=c01(1yd)+c11yd
最后再沿着z轴插值
c=c0(1−zd)+c1zdc=c_0(1-z_d)+c_1z_dc=c0(1zd)+c1zd

如此我们就得到了一个点的值。三线性插值的结果与沿三个轴的插值步骤的顺序无关:任何其他顺序,例如沿x,然后沿y,最后沿z,产生相同的值。
根据以上推导公式我们可以得到一个完整的公式

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### Python 中实现三线性插值 在 Python 中,可以通过多种方法来实现三线性插值。一种常见的做法是利用 NumPy 库来进行矩阵运算,从而简化计算过程[^3]。 对于希望快速应用三线性插值而不深入理解其底层算法的开发者来说,SciPy 提供了一个方便快捷的方式。具体而言,在 `scipy.ndimage` 模块中有专门针对 n 维图像处理的功能函数 `map_coordinates()` 可以用来执行三线性插值操作[^4]。 下面给出一段基于 SciPy 的简单例子: ```python from scipy import ndimage import numpy as np def trilinear_interpolation(image, point): """ 使用 SciPy 实现三线性插值 参数: image (numpy.ndarray): 输入三维数组表示的体数据. point (tuple or list): 插值位置坐标(x,y,z). 返回: float: 计算得到的目标像素值. """ # 获取目标点附近的8个顶点索引及其权重系数 indices = [] weights = [] for dim in range(3): floor_idx = int(np.floor(point[dim])) ceil_idx = min(int(np.ceil(point[dim])), image.shape[dim]-1) weight = point[dim] - floor_idx indices.append([floor_idx, ceil_idx]) weights.append(weight if ceil_idx != floor_idx else 0.) # 调用 map_coordinates 函数完成实际插值工作 result = ndimage.map_coordinates( input=image, coordinates=[[i,j,k] for i in indices[0] \ for j in indices[1] \ for k in indices[2]], order=1, mode='nearest' ) # 加权求和获得最终结果 final_result = sum(w * r for w,r in zip( [prod(weights[i]*(not b)+a) for a,b,i in [(w<.5,w>=.5,d) for d,w in enumerate(weights)]], result.reshape((2,)*3).flatten())) return final_result ``` 此代码片段定义了一个名为 `trilinear_interpolation` 的函数,该函数接受一个三维数组作为输入以及待查询的位置坐标,并返回对应于给定点处经过三线性插值得到的新数值[^4]。
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