数据结构——树的相关操作

1.树的存储结构

（1）双亲表示法

   一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。

结点结构：

typedef struct PTNode {
	int data;//数据域，存储结点的数据信息
	int parent;//位置域，存储该结点的双亲在数组中的下标
}PTNode;

  双亲表示法是使用数组来表示的。

树结构：

typedef struct {
	PTNode node[MaxSize];//结点数组
	int r, n;//r表示根的位置，n表示结点数
}PTree;

由于根结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域设置为-1。结点自己的位置用下标表示。

（2）孩子表示法

       把每个结点的孩子排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表。如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成了一个线性表，采取顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

孩子链表的孩子结点：

typedef struct CTNode {
	int child;//数据域，存储某个结点在表头数组中的下标
	struct CTNode* next;//指针域，存储指向表头结点的下一个孩子结点的指针
}*ChildPtr;

 表头数组的表头结点：

typedef struct {
	int data;//数据域，存储表头结点的数据信息
	ChildPtr firstchild;//头指针域，存储表头结点的孩子链表的头指针（指向第一个孩子）
}CTBox;

树结构：

typedef struct {
	CTBox nodes[MaxSize];//结点数组
	int r, n;//r表示根的位置，n表示结点数
}CTree;

 （3）孩子兄弟表示法

  任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此孩子的右兄弟。

typedef struct CSNode {
	int data;
	struct CSNode* firstchild, * rightsib;
}CSNode,*CSTree;

  data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。（类似二叉链表）

 2.二叉树

（1）二叉树的链式存储结构

   二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域。我们称这样的链表为二叉链表。

typedef struct BiTNode {
	int data;
	struct BiTNode* lchild, * rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

 二叉树的顺序存储结构就是声明一个数组，然后把二叉树按照层次遍历的顺序（从上到下，从左到）标上序号，按照序号存储到数组中即可。

 （2）遍历二叉树

    1.前序遍历

void PreOrderTraverse(BiTree T) {
	if (T == NULL)
		return;
	else {
		printf("%c ", T->data);
		PreOrderTraverse(T->lchild);
		PreOrderTraverse(T->rchild);
	}
}

  规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

    2.中序遍历

void InOrderTraverse(BiTree T) {
	if (T == NULL)
		return;
	else {
		InOrderTraverse(T->lchild);
		printf("%c ", T->data);
		InOrderTraverse(T->rchild);
	}
}

  规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。、

    3.后序遍历

void PostOrderTraverse(BiTree T) {
	if (T == NULL)
		return;
	else {
		PostOrderTraverse(T->lchild);
		PostOrderTraverse(T->rchild);
		printf("%c ", T->data);
	}
}

 规则是若树为空，则空操作返回，否则先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根结点。

   4.层序遍历

int LevelOrderTraverse(BiTree& t) {
	queue<BiTNode*> q;//声明一个数据类型为结点指针的队列q
	BiTNode* h;//声明一个结点指针
	if (t != NULL) {
		q.push(t);//把结点指针入队
		while (!q.empty()) {
			h = q.front();//取出首位元素
			q.pop();//首位元素出队
			printf("%c ", h->data);
			if (h->lchild != NULL) {
				q.push(h->lchild);//入队左孩子
			}
			if (h->rchild != NULL) {
				q.push(h->rchild);//入队右孩子
			}
		}
	}
	return 1;
}

   规则是若树为空，则空操作返回。否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

（3）建立二叉树

 这里选择先序序列（前序序列）来建立二叉树

int CreateBiTree(BiTree& T) {
	char ch;
	cin >> ch;
	if (ch == '#')
		T = NULL;//如果输入的字符为'#',说明这是个空结点
	else {
		T = new BiTNode;
		if (!T)
			return OVERFLOW;
		T->data = ch;
		CreateBiTree(T->lchild);//建立左子树
		CreateBiTree(T->rchild);//建立右子树
	}
	return 1;
}

  按照先序遍历的顺序输入各个结点的内容。这里值得注意的地方——要把空结点也输入进去，用'#'符号代表空结点。否则二叉树的建立将永远持续下去。举例：下图对应的输入操作应该是  A B D # # E # # C F # # #

示例：

int main()
{
	BiTree t=NULL;
	cout << "请构造一棵树：";
	CreateBiTree(t);
	cout << "先序遍历的结果是：";
	PreOrderTraverse(t);
	cout << endl;
	cout << "中序遍历的结果是：";
	InOrderTraverse(t);
	cout << endl;
	cout << "后序遍历的结果是：";
	PostOrderTraverse(t);
	cout << endl;
	cout << "层次遍历的结果是：";
	LevelOrderTraverse(t);
	return 0;
}

（4）计算二叉树深度

int Depth(BiTree T) {
	if (T == NULL)
		return 0;
	else {
		int m = Depth(T->lchild);//左子树的深度
		int n = Depth(T->rchild);//右子树的深度
		if (m > n)//如果左子树深度较大
			return m + 1;//返回左子树深度+1（带上根结点那层）
		else
			return n + 1;//否则返回右子树深度+1
	}
}

 若是空树，深度为0。否则递归计算左子树的深度为m，递归计算右子树的深度为n，二叉树的深度则为m与n的较大者+1。

（5）计算二叉树结点总数

int NodeCount(BiTree T) {
	if (T == NULL)
		return 0;//为空的结点不能算作结点
	else
		return NodeCount(T->lchild) + NodeCount(T->rchild) + 1;
}

 若是空树，则结点为0（并且递归到空结点的时候也不能算作结点）。如果不是空树，则结点个数为左子树的结点+右子树的结点+1（根）。

（6）计算二叉树叶子结点总数

int LeafCount(BiTree T) {
	if (T == NULL)
		return 0;//空树返回0
	if (T->lchild == NULL && T->rchild == NULL)//叶子结点的判断条件——没有孩子
		return 1;//叶子结点返回1
	else
		return LeafCount(T->lchild) + LeafCount(T->rchild);//根的左子树叶子结点和右子树叶子结点的和
}

  如果树为空则为0。如果是叶子结点返回1。二叉树叶子结点总数为根的左子树叶子结点个数+右子树叶子结点个数。

示例：

 7 1 10 9 # # 6 # # 5 # # 3 2 # # 8 # # 

 注意这里的10，由于输入的相当于字符型，所以会被拆成1和0分别输入进去，因此要换一种表示方法——输入整形，用-1表示空结点。

 7 1 10 9 -1 -1 6 -1 -1 6 -1 -1 3 2 -1 -1 8 -1 -1

int main()
{
	BiTree t=NULL;
	cout << "请构造一棵树：";
	CreateBiTree(t);
	cout << "二叉树的深度为：";
	printf("%d", Depth(t));
	cout << endl;
	cout << "二叉树的结点总数为：";
	printf("%d", NodeCount(t));
	cout << endl;
	cout << "二叉树的叶子结点总数为：";
	printf("%d", LeafCount(t));
	cout << endl;
	return 0;
}