博客介绍了常用数学符号，包括运算、重复操作、不等号等符号，以及希腊字母表小写。还列举了多个常用Latex公式，如勾股定理、斐波拉契数列规律、等差数列求和公式等，并给出部分公式的证明，同时探讨了一些奇葩小定理及证明。
常用 数学 符号
难度 1 1 1：运算符号
| 符号 | 意义 | 表达式 | 代码 |
|---|---|---|---|
| + + + | 前一个数与后一个数的和 | a + b a+b a+b | + |
| − - − | 前一个数与后一个数的差 | a − b a-b a−b | - |
| × \times × | 前一个数与后一个数的乘积 | a × b a\times b a×b | \times |
| 分子 分母 \frac{分子}{分母} 分母分子 | 分子除以分母 | a b ( b ≠ 0 ) \frac{a}{b}(b\ne0) ba(b=0) | \frac{}{} |
| % \% % | 一个数除以 100 100 100，也表示一种分率 | 40 % 40\% 40% | \% |
| ÷ \div ÷ | 同 分子 分母 \frac{分子}{分母} 分母分子 | a ÷ b ( b ≠ 0 ) a\div b(b\ne0) a÷b(b=0) | \div |
| ≡ \equiv ≡ | 两种解释：第一种，恒等于；第二种，同余，后面的加上 ( m o d x ) (\mod x) (modx) | a = 3 , b = 3 ⇒ a ≡ b Let a = 1 0 9 + 9 , b = 1 0 9 + 7 ⇒ a ≡ 2 ( m o d b ) a=3,b=3\Rightarrow a\equiv b\\\text{Let }a=10^9+9,b=10^9+7\Rightarrow a\equiv2(\mod b) a=3,b=3⇒a≡bLet a=109+9,b=109+7⇒a≡2(modb) | \equiv |
| $\approx $ | 前者与后者约等 | a ≈ b a\approx b a≈b | \approx |
难度 2 2 2：重复操作符号
| 符号 | 意义 | 表达式 | 代码 |
|---|---|---|---|
| 底 数 幂 底数^幂 底数幂 | 多个相同的数相乘得到的积 | a b a^b ab | ^ |
| ± \pm ± | 加或减去一个数，读作“正负”或者“加减” | a ± b a\pm b a±b | \pm |
| 要开方的数 \sqrt{要开方的数} 要开方的数 | 设一个数为 x x x，若 x 2 = 9 x^2=9 x2=9，则 x = ± 9 = ± 3 x=\pm\sqrt{9}=\pm3 x=±9=±3 | a \sqrt{a} a | \sqrt{} |
| ∑ 开始 结束 要加的数 \sum_{开始}^{结束}要加的数 ∑开始结束要加的数 | 从开始到结束这个变量相加所得到的和 | ∑ i = 0 ∞ i = − 1 12 \sum_{i=0}^{\infty} i=-\frac{1}{12} ∑i=0∞i=−121 | \sum_{}^{} |
| ∏ 开始 结束 累乘的数 \prod_{开始}^{结束}累乘的数 ∏开始结束累乘的数 | 从开始到结束这个变量相乘所得到的积 | ∏ i = 0 ∞ i = 0 \prod_{i=0}^{\infty}i=0 ∏i=0∞i=0 | \prod_{}^{} |
难度 3 3 3：不等号
| 符号 | 意义 | 表达式 | 代码 |
|---|---|---|---|
| < < < | 前一个数小于后一个数 | a < b a<b a<b | < |
| > > > | 前一个数大于后一个数 | a > b a>b a>b | > |
| ≤ \leq ≤ | 前一个数小于或等于后一个数，读作“小于等于” | a ≤ b a\leq b a≤b | \leq |
| ≥ \ge ≥ | 前一个数大于或等于后一个数，读作“大于等于” | a ≥ b a\ge b a≥b | \ge |
| ≠ \ne = | 前一个数不等于后一个数 | a ≠ b a\ne b a=b | \ne |
难度 3.5 3.5 3.5：上下标
| 符号 | 意义 | 表达式 | 代码 |
|---|---|---|---|
| a x a^{x} ax | 同幂号 | 略 | 略 |
| a x a_x ax | 下标，在数学和信息中常用来表示一个数组的第几个 | a 1 , a 2 , . . . , a x a_1,a_2,...,a_x a1,a2,...,ax | _{} |
| a x y a_x^{y} axy | 表示在 a a a 中第 x x x 个元素的 y y y 次方 | a 1 1 , a 2 2 , . . . , a x x a_1^1,a^2_2,...,a_x^x a11,a22,...,axx | _{}^{} |
| KaTeX parse error: Undefined control sequence: \sideset at position 1: \̲s̲i̲d̲e̲s̲e̲t̲{_1^2}{_3^4}X_a… | (本人解释不清，还请多多指教) | KaTeX parse error: Undefined control sequence: \sideset at position 1: \̲s̲i̲d̲e̲s̲e̲t̲{_1^2}{_3^4}X_a… | \sideset{_1^2}{_3^4}X_a^b |
难度 4 4 4：集合符号
| 符号 | 意义 | 表达式 | 代码 |
|---|---|---|---|
| ∈ \in ∈ | 前一个集合（或者是数）属于（即被包括于）后一个集合 | A ∈ B A\in B A∈B | \in |
| ∉ \notin ∈/ | 前一个集合（或者是数）不属于（即不被包括于）后一个集合 | a ∉ B a\notin B a∈/B | \notin |
难度 4.1 4.1 4.1：希腊字母表（小写）
| 希腊字母 | 代码 | 希腊字母 | 代码 | 希腊字母 | 代码 |
|---|---|---|---|---|---|
| α \alpha α | \alpha | $\iota $ | \iota | $\sigma $ | \sigma |
| β \beta β | \beta | $\kappa $ | \kappa | $\varsigma $ | \varsigma |
| γ \gamma γ | \gamma | $\lambda $ | \lambda | $\tau $ | \tau |
| δ \delta δ | \delta | $\mu $ | \mu | $\upsilon $ | \upsilon |
| ϵ \epsilon ϵ | \epsilon | $\nu $ | \nu | $\phi $ | \phi |
| $\varepsilon $ | \varepsilon | $\xi $ | \xi | $\varphi $ | \varphi |
| $\zeta $ | \zeta | π \pi π | \pi | $\chi $ | \chi |
| $\eta $ | \eta | $\varpi $ | \varpi | $\psi $ | \psi |
| $\theta $ | \theta | $\rho $ | \rho | $\omega $ | \omega |
| $\vartheta $ | \vartheta | $\varrho $ | \varrho | \ | \ |
待更。
常用 L a t e x Latex Latex 公式
1 、 1、 1、勾股定理
定义
一个直角三角形的斜边长的平方等于直角两边的平方之和。
公式
a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2
2 、 2、 2、斐波拉契数列规律
预处理
F 0 = 0 , F 1 = 1 F_0=0,F_1=1 F0=0,F1=1
规律
F n = F n − 1 + F n − 2 ( n ≥ 2 ) F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\ge 2) Fn=Fn−1+Fn−2(n≥2)
拓展通项公式及证明
这里由一道题目要展开！
请发现斐波拉契数列的通项公式并将其证明.
证明：
方法 1 1 1：利用特征方程（线性代数解法）
x 2 = x + 1 ⇒ x 1 = 1 + 5 2 , x 2 = 1 − 5 2 则 a n = C 1 x 1 2 + C 2 x 2 2 ∵ a 1 = a 2 = 1 ∴ C 1 x 1 = C 2 x 2 = C 1 x 1 2 + C 2 x 2 2 = 1 ⇒ C 1 = 1 5 , C 2 = 1 5 . ∴ a n = 1 5 × [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] . Q . E . D . { x^2=x+1\Rightarrow x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\\{\large 则 a_n=C_1x_1^2+C_2x_2^2}\\{\large \because a_1=a_2=1}\\{\large \therefore C_1x_1=C_2x_2=C_1x_1^2+C_2x_2^2=1\Rightarrow C_1=\frac{1}{\sqrt{5}},C_2=\frac{1}{\sqrt{5}}.}\\{\Large \therefore a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\times[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]}.\\Q.E.D. x2=x+1⇒x1=21+5,x2=21−5则an=C1x12+C2x22∵a1=a2=1∴C1x1=C2x2=C1x12+C2x22=1⇒C1=51,C2=51.∴an=51×[(21+5)n−(21−5)n].Q.E.D.
方法 2 2 2：待定系数法构造等比数列（初等代数解法）
设 a n − α ⋅ a n − 1 = β ( a n − 1 − α ⋅ a n − 2 ) , 得 { α + β = 1 , α ⋅ β = − 1. 构造方程 : x 2 − x − 1 = 0 ⇒ x 1 , 2 = 1 ± 5 2 . ∴ a n − 1 + 5 2 a n − 1 = 1 − 5 2 ( a n − 1 − 1 + 5 2 a n − 2 ) , ( 1 ) a n − 1 − 5 2 a n − 1 = 1 + 5 2 ( a n − 1 − 1 − 5 2 a n − 2 ) . ( 2 ) 由 ( 1 ) , ( 2 ) 得 : a n − 1 − 5 2 a n − 1 = ( 1 + 5 2 ) n − 2 × ( a 2 − 1 − 5 2 a 1 ) , ( 3 ) a n − 1 + 5 2 a n − 1 = ( 1 − 5 2 ) n − 2 × ( a 2 − 1 + 5 2 a 1 ) . ( 4 ) 令 : ( 3 ) × 1 + 5 2 − ( 4 ) × 1 − 5 2 ⇒ a n = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] . Q . E . D . 设 a_n-\alpha·a_{n-1}=\beta(a_{n-1}-\alpha·a_{n-2}),\\得 \left\{\begin{matrix}\alpha+\beta=1, \\\alpha·\beta=-1. \end{matrix}\right.\\构造方程:x^2-x-1=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.\\{\large \therefore a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\begin{pmatrix}a_{n-1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-2} \end{pmatrix}},(1)\\{\large a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\begin{pmatrix}a_{n-1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-2} \end{pmatrix}}.(2)\\{\large 由(1),(2)得:a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}^{n-2}\times\begin{pmatrix}a_2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_1\end{pmatrix},(3)}\\{\large a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\begin{pmatrix}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}^{n-2}\times\begin{pmatrix}a_2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_1\end{pmatrix}.(4)}\\{\Large 令:(3)\times\frac{1+\sqrt{5}}{2}-(4)\times\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}^n-\begin{pmatrix}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}^n\end{bmatrix}}.\\Q.E.D. 设an−α⋅an−1=β(an−1−α⋅an−2),得{α+β=1,α⋅β=−1.构造方程:x2−x−1=0⇒x1,2=21±5.∴an−21+5an−1=21−5(an−1−21+5an−2),(1)an−21−5an−1=21+5(an−1−21−5an−2).(2)由(1),(2)得:an−21−5an−1=(21+5)n−2×(a2−21−5a1),(3)an−21+5an−1=(21−5)n−2×(a2−21+5a1).(4)令:(3)×21+5−(4)×21−5⇒an=51[(21+5)n−(21−5)n].Q.E.D.
至此，终于可以用 O ( log 2 N ) O(\log_2N) O(log2N) 的时间复杂度解决斐波拉契数列了！！！
3 、 3、 3、等差数列求和公式
公式
∑ i = 1 N = N × ( N + 1 ) 2 \sum_{i=1}^{N}=\frac{N\times(N+1)}{2} i=1∑N=2N×(N+1)
证明
∑ i = 1 N = 1 + 2 + 3 + . . + N = ( 1 + N ) + ( 2 + N − 1 ) + . . . = N 2 × ( N + 1 ) = N × ( N + 1 ) 2 \sum_{i=1}^{N}=1+2+3+..+N=(1+N)+(2+N-1)+...=\frac{N}{2}\times(N+1)=\frac{N\times(N+1)}{2} i=1∑N=1+2+3+..+N=(1+N)+(2+N−1)+...=2N×(N+1)=2N×(N+1)
4 、 4、 4、一元三次方程
对于方程形如： x 3 − 1 = 0 设: ω = − 1 + 3 i 2 x 1 = 1 , x 2 = ω = − 1 + 3 i 2 x 3 = ω 2 = − 1 − 3 i 2 \begin{array}{l} \text{对于方程形如：}x^{3}-1=0 \\ \text{设}\text{:}\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \\ x_{1}=1,x_{2}= \omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \\ x_{3}= \omega ^{2}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{array} 对于方程形如：x3−1=0设:ω=2−1+3ix1=1,x2=ω=2−1+3ix3=ω2=2−1−3i
5 、 5、 5、不等式
∣ a ∣ ⩽ b ⇒ − b ⩽ a ⩽ ∣ b ∣ \left | a \right |\leqslant b \Rightarrow -b \leqslant a \leqslant \left | b \right | ∣a∣⩽b⇒−b⩽a⩽∣b∣
6 、 6、 6、小定理系列
a > b > 0 , n ∈ N ∗ , n > 1 ⇒ a n > b n , a n > b n a \gt b \gt 0,n \in N ^{\ast},n \gt 1 \\ \Rightarrow a^{n}\gt b^{n}, \sqrt[n]{a}\gt \sqrt[n]{b} a>b>0,n∈N∗,n>1⇒an>bn,na>nb
7 、 7、 7、奇葩（不常见）小定理（或者是谬论）
第一个： 1 + 2 + 3 + 4 + . . . = ∞ ? 1+2+3+4+...=\infty? 1+2+3+4+...=∞?
小证明1
令 S = 1 + 2 + 3 + . . . A = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . ∴ 1 − A = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . = A ∴ 1 − A = A ⇒ A = 1 2 令 B = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . . ∴ A − B = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . . = B ∴ A − B = B ⇒ B = A 2 = 1 4 ∴ S − B = 4 + 8 + 12 + . . . = 4 ( 1 + 2 + 3 + . . . ) = 4 S ∴ S − B = 4 S ⇒ S = − 1 12 Q . E . D . 令 S=1+2+3+...\\A=1-1+1-1+...\\\therefore 1-A=1-1+1-1+...=A\\\therefore1-A=A\Rightarrow A=\frac{1}{2}\\令 B=1-2+3-4+5-6+...\\\therefore A-B=1-2+3-4+5-6+...=B\\\therefore A-B=B\Rightarrow B=\frac{A}{2}=\frac{1}{4}\\\therefore S-B=4+8+12+...=4(1+2+3+...)=4S\\{\large \therefore S-B=4S\Rightarrow S=-\frac{1}{12}}\\Q.E.D. 令S=1+2+3+...A=1−1+1−1+...∴1−A=1−1+1−1+...=A∴1−A=A⇒A=21令B=1−2+3−4+5−6+...∴A−B=1−2+3−4+5−6+...=B∴A−B=B⇒B=2A=41∴S−B=4+8+12+...=4(1+2+3+...)=4S∴S−B=4S⇒S=−121Q.E.D.
在这个过程中，我们虽然有 a × b + a × c = a × ( b + c ) a\times b+a\times c=a\times(b+c) a×b+a×c=a×(b+c)，但是 a × b 1 + a × b 2 + a × b 3 + . . . = a × ( b 1 + b 2 + b 3 + . . . ) a\times b_1+a\times b_2+a\times b_3+...=a\times(b_1+b_2+b_3+...) a×b1+a×b2+a×b3+...=a×(b1+b2+b3+...) 吗？
对此，我们还有第二个证明（猜想）。
小证明2
令 S = 1 + 2 + 3 + . . . , A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , . . . } , 那么 ∑ i = 0 ∞ A i 即为我们所求 . 观察数列不难发现 : { A 0 = 1 A 1 + A 2 + A 3 = 9 A 4 + A 5 + A 6 = 18 A 7 + A 8 + A 9 = 27 . . . ∴ S = 1 + 9 + 18 + 27 + . . . = 1 + 9 × ( 1 + 2 + 3 + . . . ) = 1 + 9 S ∴ S = 1 + 9 S ⇒ S = − 1 8 Q . E . D . 令S=1+2+3+..., A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...\},那么 \sum_{i=0}^{\infty}A_i 即为我们所求.\\观察数列不难发现:\left\{\begin{matrix}A_0=1\\A_1+A_2+A_3=9\\A_4+A_5+A_6=18\\A_7+A_8+A_9=27\\...\end{matrix}\right.\\{\large \therefore S=1+9+18+27+...=1+9\times(1+2+3+...)=1+9S}\\{\large \therefore S=1+9S\Rightarrow S=-\frac{1}{8}}\\Q.E.D. 令S=1+2+3+...,A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...},那么i=0∑∞Ai即为我们所求.观察数列不难发现:⎩ ⎨ ⎧A0=1A1+A2+A3=9A4+A5+A6=18A7+A8+A9=27...∴S=1+9+18+27+...=1+9×(1+2+3+...)=1+9S∴S=1+9S⇒S=−81Q.E.D.
所以这个结论真的成立吗？
第二个： 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . = 1 ? \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=1? 21+41+81+...=1?
小证明
令 S = 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . 2 S = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . 2 S − S = S = 1 Q . E . D . 令 S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\\2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\\2S-S=S=1\\Q.E.D. 令S=21+41+81+...2S=1+21+41+81+...2S−S=S=1Q.E.D.
第三个： 0.9999999... = 1 ? 0.9999999...=1? 0.9999999...=1?
令 S = 0.9999999... 10 S = 9.9999999... 10 S − S = 9 S = 9 ⇒ S = 1 Q . E . D . 令S=0.9999999...\\10S=9.9999999...\\{\large 10S-S=9S=9\Rightarrow S=1}\\Q.E.D. 令S=0.9999999...10S=9.9999999...10S−S=9S=9⇒S=1Q.E.D.
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