快速幂

算法思想

  任何一个大于零的整数都可以展开成：
$$I=\sum _{k=0}^{\infty }{P}_k\times 2^k,P_k=0,1$$
  如果将指数按照上式展开，那么幂可以表示成：
$$M=\prod _{k=0}^{\infty }{B}^{P_k\times 2^k},P_k=0,1$$
  因此可以把累计相乘拆分成多个循环，其中 $B^{2^k}$ 可以由 $B^{2^{k-1}}$ 平方后的得到，可以设置一个变量 j 来表示 $B^{2^k}$ ，初始值为底数，而后每次循环都对自己求平方。设置变量 r 来表示幂，初始值为 1 ，每次循环都判断 $P_k$ 的值，若为 1 则 r 乘以 j，否则跳过。

时间复杂度

  由于 j 的存在时间复杂度由 $\Theta (n)$ 简化到 $\Theta ({\log }_{2}n)$。

测试代码

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    int n,i;
    cin >> n >> i;///读入底数和指数
    int r = 1;///幂初始化为1
    for(int j=n;i;j*=j){
        if(i&1){
            r *= j;
        }
        i >>= 1;///把指数拆分成2的幂的加和
    }
    cout << r << endl;
    return 0;
}