割点和桥

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原创最新推荐文章于 2026-07-31 15:30:12 发布 1.2k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

先介绍一些基础定义：（都是针对无向图）
点连通度与边连通度
在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合V，删除顶点集合V以及与V中顶点相连（至少有一端在V中）的所有边后，原图不连通，就称这个点集V为割点集合。
一个图的点连通度：最小割点集合中的顶点数。
如果一个边集合，删除这个边集合后，原图不连通，就称这个边集为割边集合。
一个图的边连通度：最小割边集合中的边数。

点双连通:如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的，简称双连通或者重连通（即删去任意一点原图任然连通）。
割点：一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1时，割点集合的唯一元素被称为割点（即删去割点原图不连通），一个图可能有多个割点。
PS:有割点的图不一定有割边。

边双连通：如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的，简称双连通或者重连通（即删去任意一边原图任然连通）。
桥：一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1时，割边集合的唯一元素被称为桥（即删去桥原图不连通），一个图可能有多个桥。
PS:有割边的图不一定有割点。

双连通分量：在图G的所有子图G’中，如果G’是双连通的，则称G’是双连通子图。如果一个双连通子图G’，他不是任何一个双连通子图的真子集，则称G’为极大双连通子图，双连通分量或重连通分量。特殊的是点双连通分量又叫做块。
PS：边双连通分量一定是点双连通分量，但点双连通分量不一定是边双连通分量。

在求双连通分量的注意点：
割点可以属于多个点双连通分量，其余点和边只属于一个点双连通分量。

将一个有桥图通过加边变成边双连通分量时：
如果叶子数(缩点后度为1的点)为1，则至少需要添加0条边；
否则为（叶子数+1）/ 2;

判断割点：
一个顶点u是割点，当且仅当满足下列两个条件之一：
1：u为树根，且u有多余一个子树。因为如果只有一颗子树，去掉根节点后肯定不会出现多颗子树，因此不可能为割点；而无向图dfs搜索树中不存在横叉边，所以若有多个子树，这些子树间不会有边相连，因此u肯定是割点。
2：u不为树根，且满足存在（u,v）为树枝边（即u为v在搜索树中的父亲），并使得dfn[u] <= low[v]。（因为删去u后v的子树不能到达u的祖先）。

判断桥
一条无向边（u，v）是桥，当且仅当(u,v)为树枝边且满足dfn[u] < low[v]。（因为v想要到达u的父亲必须经过(u,v)这条边，所以删去这条边，图不连通）。
PS:在判断（u,v）是否有后向边时要注意判断是树枝边的反向边还是新的一条边。

桥模板
求桥：//cnt 都从 1 开始

int pre[N],vis[M],sum,bridge[M];
void tarjan(int x){
	dfn[x] = low[x] = ++dfstime;
	for(int i=head[x];~i;i=nex[i]){
		int y = ver[i];
		if(!vis[i^1]){
			vis[i] = 1;
			if(!dfn[y]){
				pre[y] = x;
				tarjan(y);
				low[x] = min(low[x],low[y]);
				if(dfn[x] < low[y]){
					sum++;
					bridge[y] = true;
				}
			}else low[x] = min(low[x],dfn[y]);
		}else vis[i] = 1;
	}
}

void solve(){
	pre[1] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(!dfn[i]) tarjan(i);
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		if(bridge[i]) 
		printf("%d->%d",i,pre[i]);
	} 
}

第二版本（用来求删除桥中后边双连通中的点）：

void tarjan(int x){
	dfn[x] = low[x] = ++dfstime;
	st.push(x);
	for(int i=head[x];~i;i=nex[i]){
		int y = ver[i];
		if(!vis[i^1]){
			vis[i] = 1;
			if(!dfn[y]){
				tarjan(y);
				low[x] = min(low[x],low[y]);
			}else low[x] = min(low[x],dfn[y]);
		}else vis[i] = 1;
	}
	int i;
	if(low[x] == dfn[x]){//桥不可能在多个桥双连通里，而点可能在多个点双连通里 
		colour++;
		do{
			i=st.top();st.pop();
			col[i]  = colour; //通桥双连通染色 
		}while(i!=x);
	}
}

模板题：桥

割点模板：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
int head[N],ver[N],nex[N];
int n,m,cnt;
int dfn[N],low[N],dfstime,cut[N];
void add(int a,int b){
	ver[++cnt] = b;
	nex[cnt] = head[a];
	head[a] = cnt;
}
void read(){
	memset(head,-1,sizeof head);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);add(y,x);
	}
}
void tarjan(int x,int root){
	dfn[x] = low[x] = ++dfstime;
	int tot = 0;
	for(int i=head[x];~i;i=nex[i]){
		int y = ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tot++;
			tarjan(y,root);
			low[x] = min(low[x],low[y]);
			if((x==root && tot>1) || (x!=root && low[y]>= dfn[x])){
				cut[x] = 1;
			}
		}else{
			low[x] = min(low[x],dfn[y]);
		}
	}
}
int main(){
	read();
	for(int i=1;i<=n;i++) //这是为了防止原图不连通
	if(!dfn[i])
	tarjan(i,i);
	
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(cut[i])
	ans++;
	printf("%d\n",ans);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(cut[i])
	printf("%d ",i);
	return 0;
}

割点模板题

点双连通

int low[N],dfn[N],cut[N];//cut记录割点
int root,dfstime,bt; //bt是一共多少块（多少连通块）
vector<int> block[N];// 连通块里点数
void tarjan(int x,int root){
	dfn[x] = low[x] = ++dfstime;
	int tot = 0;
	st.push(x);
	for(int i=head[x];~i;i=nex[i]){
		int y = ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tot++;
			tarjan(y,root);
			low[x] = min(low[x],low[y]);
			if((x==root&& tot>1) || (x!=root && dfn[x]<=low[y] )) cut[x] = 1;//求割点的两种判断 
			if(dfn[x] <= low[y]){
				bt ++;
				block[bt].clear();
				int top;
				do{
					top = st.top();st.pop(); 
					block[bt].push_back(top);
				}while(y!=top);
				block[bt].push_back(x);  //重点：区分于桥双，点双的点可能多次出现在点双连通中 
			}
		}else{
			low[x] = min(low[x],dfn[y]);
		}
	}
}
int gdnum;//割点总数
void solve(){
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(!dfn[i]) tarjan(i,i);
	ll res = 0,num = 1;
	for(int i=1;i<=bt;i++){
		int gdnum = 0;
		int len = block[i].size();
		for(int j =0;j<len;j++){
			if(cut[block[i][j]]==1)
				gdnum ++;
		}
	}
}

下面给出题目：

例题：边双连通：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+100;
int n,m,cnt=1; //cnt从1开始，保证取反边 
int head[N],ver[N],nex[N],colour,top;
int dfn[N],low[N],dfstime,vis[N],du[N],col[N];
stack<int> st;
void add(int a,int b){
	ver[++cnt] = b;
	nex[cnt] = head[a];
	head[a] = cnt;
}
void read(){
	memset(head,-1,sizeof head);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);add(y,x);
	}
}
void tarjan(int x){
	dfn[x] = low[x] = ++dfstime;
	st.push(x);
	for(int i=head[x];~i;i=nex[i]){
		int y = ver[i];
		if(!vis[i^1]){
			vis[i] = 1;
			if(!dfn[y]){
				tarjan(y);
				low[x] = min(low[x],low[y]);
			}else low[x] = min(low[x],dfn[y]);
		}else vis[i] = 1;
	}
	int i;
	if(low[x] == dfn[x]){//桥不可能在多个桥双连通里，而点可能在多个点双连通里 
		colour++;
		do{
			i=st.top();st.pop();
			col[i]  = colour; //通桥双连通染色 
		}while(i!=x);
	}
}
void solve(){	
	//tarjan(1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(!dfn[i]) tarjan(i);
	
	for(int x=1;x<=n;x++){
		for(int i=head[x];~i;i=nex[i]){
			if(vis[i^1]){ //树枝边，因为dfs不考虑双向边 
				vis[i] = 0;
				int y=ver[i];
				if(col[y] != col [x]){
					du[col[x]]++; //找到叶子节点 
					du[col[y]]++;
				}
			}else vis[i] = 0;
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=colour;i++){
		if(du[i]==1) ans++;
	}
	printf("%d\n",(ans+1)/2);//新建道路的数目是把原桥删去后桥双连通缩成点后 把每两个叶子上连边即可 
	//结论：当叶子节点=1，要+的边为0，否则为（叶子数+1）/2 
}
int main(){
	read();
	solve();
	return 0;
}

点双连通

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e3;
int n,m,cs,cnt,root,dfstime,bt;
int nex[N],head[N],ver[N];
int low[N],dfn[N],cut[N];
vector<int> block[N];
stack<int> st;
void add(int x,int y){
	ver[++cnt] = y;
	nex[cnt] = head[x];
	head[x] = cnt;
}
void read(){
		for(int i=0;i<N;i++) cut[i] = dfn[i]=low[i]=nex[i] = ver[i] = 0,head[i] = -1;
		bt = dfstime = cnt = 0;
		while(st.size()) st.pop();
		for(int i = 1,x,y;i <= m;i ++){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			n = max(n,max(x,y));//题目未给出最大点数 
			add(x,y);add(y,x);
		}	
}
void tarjan(int x,int root){
	dfn[x] = low[x] = ++dfstime;
	int tot = 0;
	st.push(x);
	for(int i=head[x];~i;i=nex[i]){
		int y = ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tot++;
			tarjan(y,root);
			low[x] = min(low[x],low[y]);
			if((x==root&& tot>1) || (x!=root && dfn[x]<=low[y] )) cut[x] = 1;//求割点的两种判断 
			if(dfn[x] <= low[y]){
				bt ++;
				block[bt].clear();
				int top;
				do{
					top = st.top();st.pop(); 
					block[bt].push_back(top);
				}while(y!=top);
				block[bt].push_back(x);  //重点：区分于桥双，点双的点可能多次出现在点双连通中 
			}
		}else{
			low[x] = min(low[x],dfn[y]);
		}
	}
}
void solve(){
	ll res = 0,num = 1;
	for(int i=1;i<=bt;i++){
		int gdnum = 0;
		int len = block[i].size();
		for(int j =0;j<len;j++){
			if(cut[block[i][j]]==1)
				gdnum ++;
		}
		if(gdnum==0) res+=2,num = num*(len-1)*len/2;
		else if(gdnum==1) res++,num=num*(len-1);
	}
	printf("%lld %lld\n",res,num);
}
int main(){
	while(~scanf("%d",&m) && m){
		printf("Case %d: ",++cs);
		read();
		for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i]) tarjan(i,i);	
		solve();
	}
	return 0;
}