快乐地打牢基础（5）——割点和桥

一、定义

割点集合：

在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合V，删除顶点集合V以及与V中顶点相连（至少有一端在V中）的所有边之后，原图不连通，就称这个点为割点集合。

一个图的点连通度： 最小割点集合的中的顶点数，在图G中，去掉任意K-1个顶点后（1<=K<=N）,所得的子图仍然连通，去掉K个顶点后不连通，K就是图G的点连通度。

割边集合：

在一个无向连通图中， 如果有一个边集合，删除这个边以后，原图不连通，就称这个点集为割边集合。

一个图的边连通度： 最小割边集中的边数。在图G中，去掉任意K-1条边后（1<=K<=N）,所得的子图仍然连通，去掉K条边后不连通，K就是图G的边连通度。

点双连通度：如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的（point biconnected），简称双连通或者重连通（即删去任意一点原图仍然连通）。
割点： 一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1时，割点集合的唯一元素被称作割点（cut point）（即删去割点原图不连通）。一个图可能有多个割点。

下图的3号顶点就是割点。

边双连通度：如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的（edge biconnected），简称双连通或者重连通（即删去任意一边原图仍然连通）。
桥： 一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1时，割边集合的唯一元素被称作桥（bridge）（即删去桥原图不连通）。一个图可能有多个桥。
如图边（1,2）就是桥
两个错误猜想：
XXX 两个割点之间的边一定是桥。桥的两个端点一定是割点。

如下面这两个例子就是反例：
我们可以知道，点双连通和边双连通都可以称作是双连通，但是这并不意味它们是等价的。

双连通分量：在图$G$的所有子图$G^{\prime }$中，如果$G‘$是双连通的，则称$G^{\prime }$为双连通子图。如果一个双连通子图$G^{\prime }$，他不是任何一个双连通子图的真子集，则$G^{\prime }$为极大双连通子图。双连通分量就是图的极大双连通子图。特殊的是点双连通分量又叫做块。

边双连通分量一定是点双连通分量，但点双连通分量不一定是边双连通分量。如：

图无割点所以是点双连通分量，图有桥所以不是边双连通分量。

二、Tarjan算法

对，就是之前求强连通分量的算法。这次我们通过求DFN和Low的值来得到割点和桥。
先对图做DFS，因为是无向图，没有横叉边，所以DFS过程中遇到三种边：
来复习一下。
树枝边：DFS时经过的边，即DFS搜索树上的边。
前向边：与DFS方向一致，从某个结点指向其某个子孙的边。
后向边：与DFS方向相反，从某个结点指向其某个祖先的边。

DFN（$u$）依旧是$u$在DFS中被搜到的时间戳。
Low（$u$）表示DFS中$u$不通过父顶点能访问到的祖先顶点中最小的时间戳。

根据定义，则有：

如果$(u,v)$为树枝边，$u$为$v$的父结点，则Low($u$) = Min{Low($u$),Low($v$)}。

如果$(u,v)$为后向边，$u$不为$v$的父结点，则Low($u$) = Min{Low($u$),DFN($v$)}。

1.判断割点

只需要满足下面两个条件的任意一个，点$u$即是割点。

• $u$是树根，那么只要$u$的子树个数只要超过1，那么$u$就是割点。
  因为无向图DFS的搜索树中没有横叉边，所以如果有多个子树，那么这些子树之间是不会有边相连的，只要把树根去掉，子树就会变成独立的块，$u$一定是割点。子树的个数也肯定要大于1，因为如果是1，那么连通分量的个数在去掉点$u$后还是1，这不符合割点的定义。

• $u$不是树根，且满足存在（$u$，$v$）为树枝边，（$u$在搜索树中是$v$的父亲），并且DFN（$u$） <= Low（$v$）。
  此时，如果删除$u$，v{v}