剑指offer-10、矩阵覆盖

题目描述

我们可以用 2 * 1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个 2 * 1 的小矩形无重叠地覆盖一个2 * n的大矩形，总共有多少种方法？

比如n=3时，2 * 3 的矩形块有3种覆盖方法：

思路及解答

我们需要用若干个2×1的小矩形（可以横放或竖放）无重叠地覆盖一个2×n的大矩形，求总共有多少种不同的覆盖方法。例如当n=3时，共有3种覆盖方法。

通过观察小规模案例，我们可以发现：

• n=1时，只有1种方法（竖放）
• n=2时，有2种方法（两个竖放或两个横放）
• n=3时，有3种方法
• n=4时，有5种方法

显然，这形成了一个类似斐波那契数列的规律：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。这一题其实和上面青蛙跳台阶和斐波那契数列是一样的，变的只是场景。

递归

递归是解决这类问题最直观的方法。对于2×n的矩形，我们考虑第一块小矩形的放置方式：

1. 如果竖着放，则剩下的部分是2×(n-1)的矩形，有f(n-1)种方法
2. 如果横着放，则下方也必须横放一块，剩下的部分是2×(n-2)的矩形，有f(n-2)种方法

因此，总方法数为这两种情况之和：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，这正是斐波那契数列的递推关系

java

public class Solution {
    public int rectCover(int n) {
        if (n <= 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;
        return rectCover(n - 1) + rectCover(n - 2);
    }
}

• 时间复杂度：O(2^n)，存在大量重复计算
• 空间复杂度：O(n)，递归调用栈深度

动态规划

在递归解法基础上，我们可以加入记忆化存储，避免重复计算。使用一个数组存储已经计算过的结果，每次计算前先检查是否已存储

java

public class Solution {
    
    public int rectCover(int n) {
        if (n <= 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;
        
        int[] dp = new int[n + 1];

		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
		}
		
		return dp[n];
    }
}

• 时间复杂度：O(n)，每个子问题只计算一次
• 空间复杂度：O(n)，需要存储中间结果

优化的动态规划（空间优化）

观察发现，计算f(n)只需要前两个状态f(n-1)和f(n-2)，因此可以用两个变量代替整个数组，将空间复杂度优化到O(1)。

java

public class Solution {
    public int rectCover(int n) {
        if (n <= 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;
        
        int prev1 = 1, prev2 = 2;
        int result = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            result = prev2 + prev1;
            prev1 = prev2;
            prev2 = result;
        }
        return result;
    }
}