小小的模线性方程(组)

1).poj1006.生理周期

已知四个数 p, e, i, d，求一个数 a，满足 a % 23 = p，a % 28 = e，a % 33 = i，输出 a - d。特别地，a 不能超过 21252。

因为 23，28，33 两两互质，所以这道题就是中国剩余定理。

#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL p, e, i, lcm, d;
int tot = 0;

void doit()
{
	++ tot;
	lcm = 21252;
	LL t = (5544 * p + 14421 * e + 1288 * i - d + lcm) % lcm;
	if (t == 0) t = 21252;
	printf("Case %d: the next triple peak occurs in %lld days.\n", tot, t);
}

int main()
{
	while (scanf("%lld%lld%lld%lld", &p, &e, &i, &d) != EOF){
		if (p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1) break;
		doit();
	}
	return 0;
}

2).poj2891.Strange Way to Express Integers

x = ri (mod ai)，求x 的最小非负整数值。

中国剩余定理？不能用啦！因为没有保证 ai 互质。换一种方法？

假设我们已经求出了前若干个方程的一个解 T，之前的方程中所有ai的最小公倍数为 lcm。可以发现 T+k*lcm（k 为常数）也是前若干个方程的解。加入当前方程后，问题转化为：找到一个 k，使 (T + k * lcm) mod ai = ri，也就是lcm * k ≡ ri - T (modai)。这又是一个一次线性同余方程的问题了。因此用 exgcd 解 N 次线性同余方程，就可以求出这个线性同余方程组的解。

#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

int n;
LL a1, a2, r1, r2, x, y, d;

void init()
{
	scanf("%I64d%I64d", &a1, &r1);
}

void ex_gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
	if (!b){
		x = 1; y = 0; d = a;
		return;
	} else {
		ex_gcd(b, a % b, d, x, y);
		int t = x;
		x = y; y = t - a / b * x;
	}
}

void doit()
{
	bool flag = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i ++){
		scanf("%I64d%I64d", &a2, &r2);
		LL a = a1, b = a2, c = r2 - r1;
		ex_gcd(a, b, d, x, y);
		
		if (c % d) flag = 0;
		
		LL t = b / d;
		x = (((x * c / d) % t) + t) % t;
		r1 = a1 * x + r1;
		a1 = a1 * a2 / d;
	}
	if(!flag) r1 = -1;
	printf("%I64d\n", r1);
}

int main()
{
	while(scanf("%d", &n) != EOF){
		init();
		doit();
	}
	return 0;
}