完全背包问题

最新推荐文章于 2022-01-03 12:44:11 发布

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本文详细解释了完全背包问题及其状态转移方程，并对比了与01背包问题的区别，阐述了循环顺序选择的原因。同时提供了完整的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

完全背包问题：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将

哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

分析：状态转移方程为：

对于完全背包问题，与01背包比较只是v的循环顺序改变而已。

首先想想为什么01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。

这是因为要保证第i次循环中的状态 dp[i][v]是由状态dp[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只

选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果dp[i-1][v-c[i]]。

而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第

i种物品的子结果dp[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

int Work(int c[],int w[],int n,int m)
{
    dp[0]=0;
    for(int v=1; v<N; v++)
        dp[v]=INF;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int v=c[i]; v<=m; v++)
            dp[v]=min(dp[v],dp[v-c[i]] + w[i]);
    return dp[m];
}

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114