路径还原

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最短路中的路径还原问题:

最早接触这个问题是在自己学习最短路问题的时候，那个时候学了几个最短路以为自己很牛B了，也是稍微了解了一

下如何在DK最短路算法中还原路径，可是当今天遇到一个BFS需要用到路径还原，真的是绞尽了脑汁2个小时多才把

AC代码给写了出来，这时才认识到自己是有多么的自负，所以决定写下这篇BLOG以供大家学习，也算是自己对知识

点的一个总结吧！

路径还原一直也是最短路问题中的一个常见问题，所以由于某些题的需要，我将在这篇文章中为童鞋们详细讲解这

个问题。

首先，路径还原的意思就是将最短路那条路径记录下来以供使用（如输出最短路的路径）。

这里我将这个问题分的更细，将为大家讲解不同的最短路解法的路径还原方法。我将它们总结为了下面3种：

①最短路算法的路径还原

②DFS求最短路的路径还原

③BFS求最短路的路径还原

另外还会在最后补充路径还原时，如果还需要记录下每次状态转移时的动作时该怎么做以及当点是由（x,y）唯一确定，而不是由单一的编号确定时该怎么记录呢？（看不懂请往后看）

最短路的问题一般都是用这3种方法来求解，其中①仅适用于图的最短路，而DFS和BFS却能求解各种不同形式的最

优解，我们也可以形象的理解为求最短路。下面依次讲解这几个问题：

①最短路算法的路径还原：

理解了最短路算法的童鞋应该明白，这几个算法都是大同小异，其实质上都是贪心的结果，所以每一次松弛操作都是

一次贪心的操作。

在这几个算法中，我们普遍使用辅助数组d[i]来记录i点当前已知（或目前可以求出）的最短路。所以每进行一次松弛

操作都会使d[i]的数值更加接近结果，直到所有松弛操作完成便是最终所求结果，那么我们可以这样想，我们可以使

用另一个辅助数组prv[]来记录当前的最短路路径，具体实现为prv[i]=j代表了i是从j走来的，即当前i的最短路是通过从j

走到i得到的，我们把j叫做i的前驱节点，如此，随着松弛操作的最终完成（也就是最终的最短路的解出），prv[i]=j便

代表着i的真正的最短路是通过从j走到i得到的。另外只要将prv[起点]的值初始化为一个特定值，这里我们用-1就可以

很好的将这条路径输出来了。

vector<int> path;
int t = end;     //这里end代表终点
for (; t != -1; t = prv[t])       //每次将当前的位置加入path直到到尽头-1，且-1不会被加入path
	path.push_back(t);
reverse(path.begin(), path.end());   //由于path是按从终点到起点的顺序加入的，所以需要反转