（蓝桥真题）青蛙过河（思维+双指针/二分）

最新推荐文章于 2025-04-17 18:59:16 发布

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文章讨论了一个关于青蛙跳跃的问题，其中青蛙的跳跃能力为c，目标是在不超过2*x次跳跃内覆盖所有石头。关键在于确保每个长度为c的区间内的石头总高度至少为2*x。文章通过必要性和充分性证明了这一条件，并提供了两种解法：双指针寻找最小区间和二分查找判断可行性，分别具有O(n)和O(nlogn)的时间复杂度。

样例输入：

5 1
1 0 1 0

样例输出：

分析：首先去和回是没有区别的，所以我们直接考虑是去2*x次即可

结论：假如说跳跃能力是c，那么对于任何一个长度为c的区间中的石头总高度都不能小于2*x。且当所有区间中的石头高度都大于等于2*x时，一定可以通过2*x次

证明：

先证明必要性：

如果要是存在某个长度为c的区间的石头总高度小于2*x，那么也就是说落到这个区间上石头的次数是小于2*x的，那么也就是必然会有几次是不经过这个区间的，但是由于这个区间长度为c，想要不经过这个区间直接跳过去那么弹跳能力显然要大于c，所以这是不可能的

下面证明充分性：

我们假设2*x只青蛙同时跳到区间1~c上的石头，那么现在我们考虑使1位置上的青蛙跳到第c+1个位置，如果要是h[1]<=h[c+1]，那么这个显然是可以实现的，但是如果要是h[1]>h[c+1]，那么我们需要分析一下，因为h[2]+h[3]+……+h[c+1]>=2*x,则h[2]+h[3]+……+h[c]>=2*x-h[c+1],那么我们就有h[1]+h[2]+h[3]+……+h[c]>=2*x+h[1]-h[c+1],我们可以把h[1]中的h[1]-h[c+1]调整至2~c块石头上，这样第一块石头上的青蛙个数就不会大于第c+1块石头上的青蛙，那么这样我们就能使得青蛙转移到2~c+1上，同理我们可以完成3~c+2上的转换……,这样我们就证明了结论的充分性

代码实现的话可以用双指针直接找出来满足所有区间和大于等于2*x的最小区间长度，复杂度是O(n)，这个也是本博客使用的方法

还有一种方法就是直接二分长度然后判断是否可行，实现比较简单，复杂度是O(nlogn)

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
long long h[N];
int main()
{
	long long n,x;
	cin>>n>>x;
	x<<=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
		scanf("%lld",&h[i]);
	long long ans=0,s=0;
	for(int i=0,j=0;j<=n;)
	{
		while(j<=n&&s<x)
			s+=h[j++];
		ans=max(ans,min(1ll*j,n)-i);
		s-=h[i++];
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}