（HDU - 3506）Monkey Party（区间DP+四边形不等式优化）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/AC__dream/article/details/124552376

这篇博客介绍了如何利用四边形不等式优化解决环形石子合并问题，该问题的原始复杂度为O(n^3)，通过四边形不等式优化后降低到O(n^2)。文章提供了详细的状态转移方程和代码实现，帮助读者理解和掌握这种优化技巧。

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样例输入：

8
5 2 4 7 6 1 3 9

样例输出：

这道题目题意与环形石子合并题意是一样的，可以直接参考

注意是环形的，也就是两边的石子也是可以合并的，这两道题目的唯一区别就是数据范围不同，普通的环形石子合并复杂度是O(n^3)的，n=100是可以直接三重for循环dp求解，但是这道题目的范围是n=1000的，无法直接O(n^3)求解，必须进行优化，常见的优化区间动态规划问题的方法就是四边形不等式，不知道四边形不等式的小伙伴可以看这里：四边形不等式（优化区间DP技巧）_AC__dream的博客-优快云博客_四边形不等式优化dp

设f[i][j]表示从i合并到j所需要的最小代价，我们回忆一下一般的区间DP的状态转移方程，第三重for循环的意义是枚举断点来更新f[i][j]，范围就是从i枚举到j，这样就导致整体复杂度变为O(n^3)，而四边形不等式就是为了优化这一重for循环的，也就是减少枚举的范围，正确性我已经在四边形不等式的介绍中加以说明，大家可以参考上面的那篇博客理解一下，优化后复杂度就变为了O(n^2),优化的还是挺多的，建议大家掌握一下技巧，证明过程理解就好，关键是要知道可以用四边形不等式进行优化的区间DP问题需要满足什么样的条件。

下面是代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=2e3+10;
long long sum[N],f[N][N];
int s[N][N];//s[i][j]标记i~j的递推最优点
int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		memset(f,0x3f,sizeof f);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			f[i][i]=f[i+n][i+n]=0;
			s[i][i]=i;s[i+n][i+n]=i+n;
			scanf("%d",&sum[i]);
			sum[i+n]=sum[i];
		}
		for(int i=1;i<=2*n;i++)
			sum[i]+=sum[i-1];
		long long mi=0x3f3f3f3f;
		for(int len=2;len<=n;len++)
		for(int i=1;i+len-1<=2*n;i++)
		{
			int j=i+len-1;
			for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
			{
	            if(f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]<f[i][j])
	            {
	                f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
	                s[i][j]=k;
	            }
	        }
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) mi=min(mi,f[i][i+n-1]);
		printf("%lld\n",mi);
	}
	return 0;
}