密码脱落（区间DP）

原创已于 2023-05-17 15:25:03 修改 · 174 阅读

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#动态规划 #蓝桥杯

于 2022-02-10 18:32:31 首次发布

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本文介绍了如何使用区间动态规划（区间DP）和最长公共子序列的方法来寻找给定字符串的最小子回文串，通过反向思考问题，转换为求最长回文子串长度，进而确定添加字符最少的情况。展示了两种实现代码片段，帮助理解两种算法的原理。

这道题是要求长度最短的一个回文子串，使得这个回文子串去掉几个字符后得到所给字符串，我们反向思考问题，问题就是求所给字符串至少需要添加几个字符才能使其变为回文字串，也就是我们可以先求出所给字符串中最长的回文字串，去掉这个字串中，剩余几个字符我们就至少需要添加几个字符，那么问题就转化为了我们要求所给序列中的最长回文字串，求所给序列中最长回文字串有两种方法：

第一种是直接用区间DP进行求解

设dp[i][j]表示从第i个字符到第j个字符的字符串中回文字串的最长长度，那么类似于求最长公共子序列一样，若第i个字符和第j个字符相同，则dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2,否则dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])

第二种是用最长公共子序列来求

有一个性质就是一个字符串s的最长回文字串就是s串和把s串反转后得到的字符串的最长公共字串

有了这个性质就比较好求了

下面是代码：

直接用区间DP进行求解：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1003;
int dp[N][N];//dp[i][j]表示从第i个字符到第j个字符中所存在的最大回文字串的长度 
char s[N];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	scanf("%s",s+1);
	int l=strlen(s+1);
	for(int len=1;len<=l;len++)//区间dp先枚举长度 
	for(int i=1;i+len-1<=l;i++)
	{
		if(len==1)
		{
			dp[i][i]=1;
			continue;
		}
		int j=i+len-1;
		if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
		else dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
	}
	printf("%d",l-dp[1][l]);
	return 0;
}

用最长公共子序列来求解：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1003;
int dp[N][N];//dp[i][j]表示第一个字符串前i个字符和第2个字符串前j个字符中所存在的最大公共字串的长度 
char s1[N],s2[N];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	scanf("%s",s1+1);
	int l=strlen(s1+1);
	for(int i=1;i<=l;i++)
		s2[i]=s1[l+1-i];
	for(int i=1;i<=l;i++)
	for(int j=1;j<=l;j++)
	{
		if(s1[i]==s2[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
		else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
	}
	printf("%d",l-dp[l][l]);
	return 0;
}