约瑟夫环问题

1、下面有例题
2、给出从1开始和从0开始两种递推公式
0:f(n)=((f(n-1)+m)%n
1:f(n)=(f(n-1)+m-1)%n+1//为了防止求余后为0而没有第0个人
约瑟夫环问题描述：
一共有n个人，从1报数，报到第m个的时候淘汰，求活到最后一个的人的序号。

普通解法：

链表或者数组模拟此过程，由于太麻烦又耗时间，此处不贴代码

数学解法

使用上面两个公式递推

此下方的讲解出自一个很好的博客

https://blog.youkuaiyun.com/u011500062/article/details/72855826
约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。
递推公式：
f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
f(N,M)f(N,M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
f(N−1,M)f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。
刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
……
第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
最后的胜利者是编号为7的人。
下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）

现在再来看我们递推公式是怎么得到的！
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置

f(1,3)f(1,3)：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
……
f(11,3)=6f(11,3)=6
很神奇吧！现在你还怀疑这个公式的正确性吗？上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。
问题1：假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

问题2：假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3f(11,3)=f(10,3)+3。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11f(11,3)=（f(10,3)+3）%11
问题3：现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
答：每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f(N−1,M)f(N−1,M)，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%nf(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n
注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1

实现代码：

int cir(int n,int m)
{
    int p=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        p=(p+m)%i;
    }
    return p+1;
}

Description

n个人想玩残酷的死亡游戏，游戏规则如下：

n个人进行编号，分别从1到n，排成一个圈，顺时针从1开始数到m，数到m的人被杀，剩下的人继续游戏，活到最后的一个人是胜利者。

请输出最后一个人的编号。

Input

输入n和m值。

Output

输出胜利者的编号。

Sample Input

5 3

Sample Output

4

题解

看了上边的分析随意选择一种喜欢的递推方法

CODE1

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <functional>
#include <time.h>
using namespace std;
int main()
{
    int m,n;
    while(cin >> n >> m)
    {
        int ans=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            ans=(ans+m)%i;
        cout << ans+1 << endl;
    }

    return 0;
}

CODE2

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <functional>
#include <time.h>
using namespace std;
int main()
{
    int m,n;
    while(cin >> n >> m)
    {
        int ans=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            ans=(ans+m-1)%i+1;
        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}