HDU1573 X问题解同余方程组

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本文介绍了解决同余方程组在特定范围内解的数量的方法，通过扩展欧几里得算法找到一个小于最小公倍数的解，并计算出解的总数。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

分析：判断同余方程组在某个范围内的解的个数，在POJ2891的基础上增加一步即可：设b数组中所有数的最小公倍数为lcm，那么我们在解出同余方程组的一个小于lcm的解r1后，令r1+k×lcm<=n（k为最终的解的个数），若r1为0，那么解出的k即为所求；若r1不为0，那么k+1即为所求。

实现代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,a,b,c,d,a1,r1,a2,r2;
LL A[15],B[15];
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{//扩展欧几里得算法
    if(!b)
    {
        x=1,y=0,d=a;
        return ;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        LL temp=x;
        x=y;
        y=temp-(a/b)*y;
    }
}
int solve()
{//解出同余方程组的小于lcd(r1,r2,...,rk)的唯一解
    bool ifhave=1;
    LL x0,y0;
    a1=A[1],r1=B[1];
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        a2=A[i],r2=B[i];
        a=a1,b=a2,c=r2-r1;
        exgcd(a,b,d,x0,y0);
        if(c%d) ifhave=0;
        LL t=b/d;
        x0=(x0*(c/d)%t+t)%t;
        r1=a1*x0+r1;
        a1=a1*(a2/d);
    }
    if(!ifhave) r1=-1;
    return r1;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
          scanf("%lld",&A[i]);
        for(int i=1;i<=m;i++)
          scanf("%lld",&B[i]);
        LL ans=solve();
        if(ans==-1||ans>n) puts("0");
        else
        {
            if(ans) printf("%lld\n",(n-r1)/a1+1);
            else printf("%lld\n",(n-r1)/a1);
        }
    }
    return 0;
}