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最新推荐文章于 2021-02-28 20:20:23 发布

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博客围绕扔硬币问题展开，有n个硬币初始正面朝下，需扔K次，每次选一个硬币。要使朝上硬币数期望最大，每次应选正面朝下的硬币。通过定义随机变量X，给出期望公式，总结扔硬币策略，还得出状态转移方程，最后递推概率求期望。

传送门

转自：https://www.cnblogs.com/LQLlulu/p/8886855.html（这篇博客写得真走心）

题意
有n个硬币排成一排，开始的时候所有的硬币都是正面朝下，你必须要扔K次硬币，每次选择一个硬币，问K次以后朝上的硬币数的最大期望是多少？

思路：期望值最大，则每次选择正面朝下的硬币仍

————————————————————————————————————————————————

随机变量X是指朝上的硬币数，当有N枚硬币的时候，X=0，1，2，3....N

E(X)=1*p(1)+2*p(2)+....+n*p(n)。

要想求最大期望，我们在扔硬币的时候要遵循一个策略：尽量扔正面朝下的硬币

如果当前有0到n-1枚硬币正面朝上，我们可以选择正面朝下的硬币来扔，扔完以后朝上硬币数不变或者+1

如果当前有n枚硬币正面朝上，我们只能选择正面朝上的硬币来扔，扔完以后朝上的硬币数不变或者-1

————————————————————————————————————————————————

令dp[i][j]为扔i次以后j枚硬币朝上的概率

根据上面总结的规律，我们可以的到状态转移方程

当j<n的时候

dp[i+1][j]+=dp[i][j]*0.5

dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*0.5

当j=n的时候

dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*0.5

dp[i+1][j-1]+=dp[i][j]*0.5

这样递推出概率来以后遍历一遍j求期望就好了~

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define pre(i,x,nn) for(int i=x;i<=nn;i++)
#define ll long long
using namespace std;
int n,k;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    double dp[500][500]={0};
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
       for(int j=0;j<=n;j++)
       {
           if(j<n)
           {
              dp[i+1][j]+=dp[i][j]/2.0;
              dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]/2.0;
           }
           else
           {
               dp[i+1][j]+=dp[i][j]/2.0;
               dp[i+1][j-1]+=dp[i][j]/2.0;
           }
       }
    }
    double sum=0;
    pre(i,1,k)
      sum+=dp[k][i]*i;
    printf("%.10lf\n",sum);
    return 0;
}