平均值I

题目描述

豆豆从小对数字很敏感，小学里就显露出超常的能力，老师为了防止他太过骄傲，给了他一个可怕的难题：求一串给定整数某一段的平均值，保留3位小数。每个整数都是小于2 ³¹ 的。老师做梦也没想到豆豆全都回答出来了，原来豆豆有一个擅长编程的朋友你。

输入

第一行一个整数N(1<=N<=100000)，表示一串整数的个数；
第二行用空格隔开的N个非负整数；
第三行一个整数M(1<=M<=100000)，表示M次询问；
接下来M行，每行两个整数i和j(1<=i,j<=N)，表示询问第i个到第j个整数的平均值，不保证i<j。

输出

M行，每行一个小数，表示平均值，要求小数点后面保留3位输出。

样例输入

5 
0 25 0 23 2 
1 
1 5

样例输出

10.000

提示

数据保证N个整数和小于2⁶³

#include <stdio.h>
long long int m,n,a[100005],c[100005]={0},ans1,ans2;
double sum;
int lowbit(int t)
{
   return t&(-t);
}
long long int getsum(int x)
{
   long long int ans=0;
   int i;
   for(i=x;i>0;i-=lowbit(i))
      ans+=c[i];
   return ans;
}
int main()
{
   int i,j,l,r;
   scanf("%lld",&n);
   for(i=1;i<=n;i++)
      scanf("%lld",&a[i]);
   for(i=1;i<=n;i++)
      {
         for(j=i-lowbit(i)+1;j<=i;j++)
            c[i]+=a[j];
      }
   scanf("%lld",&m);
   while(m--)
      {
         scanf("%d%d",&l,&r);
         if(l>r)
           {
              int temp=l;
              l=r;
              r=temp;
           }
         ans1=getsum(l);
         ans2=getsum(r);
         sum=(double)(ans2-ans1+a[l])/(double)(r-l+1);
         printf("%.3lf\n",sum);
      }
   return 0;
}

树状数组  重点是在 树状的数组

大家都知道二叉树吧

叶子结点代表A数组A[1]~A[8]

 

 .......

现在变形一下

 现在定义每一列的顶端结点C[]数组 

 如下图

 

 

C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和// 这里以求和举例

如图可以知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+ A[2] ;

C[3]=A[3];

C[4]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4] ;

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8] ;

下面观察如下图

将C[]数组的结点序号转化为 二进制

1=(001)       C[1]=A[1];

2=(010)       C[2]=A[1]+ A[2] ;

3=(011)       C[3]=A[3];

4=(100)       C[4]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4] ;

5=(101)       C[5]=A[5];

6=(110)       C[6]=A[5]+A[6];

7=(111)       C[7]=A[7];

8=(1000)     C[8]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8] ;

对照式子可以发现  C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;

可以自行带入验证;

现在引入lowbit(x) 

lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1  换言之  lowbit(x)=2^k  k的含义与上面相同 理解一下

下面说代码

1. int lowbit(int t)
2. {
3. return t&(-t);
4. }
5. //-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
6. //例如 :
7. // t=6（0110） 此时 k=1
8. //-t=-6=(1001+1)=(1010)
9. // t&(-t)=(0010)=2=2^1

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];

 

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区间查询

ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和 

举个例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;   前i项和

C[4]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4] ;    C[6]=A[5]+A[6];    C[7]=A[7];

可以推出:    sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]= C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

 

再举个例子 i=5

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ;   前i项和

C[4]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4] ;   C[5]=A[5];

可以推出:    sum[5]=C[4]+C[5];

序号写为二进制: sum[(101)]= C[(100)]+C[(101)];

 

细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用

结合代码

1. int getsum(int x)
2. {
3. int ans=0;
4. for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
5. ans+=C[i];
6. return ans；
7. }

对于i=7 进行演示 

                                  7(111)          ans+=C[7]

lowbit(7)=001  7- lowbit(7)=6(110)    ans+=C[6]

lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    

对于i=5 进行演示 

                                  5(101)            ans+=C[5]

lowbit(5)=001  5- lowbit(5)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    

 

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单点更新

 

当我们修改A[]数组中的某一个值时  应当如何更新C[]数组呢？

回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图

 

结合代码分析

1. void add(int x,int y)
2. {
3. for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
4. tree[i]+=y;
5. }
6. //可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
7. //由叶子结点向上更新C[]数组

 

如图： 

当更新A[1]时  需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

                     C[1],   C[2],    C[4],     C[8]

写为二进制   C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]

                                      1(001)        C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)      C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100)     C[4] +=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000)   C[8] +=A[1]