ZOJ(Modular Inverse)——最小乘法逆元_modular inverse zoj-优快云博客

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本文深入探讨了数论中的最小乘法逆元概念，通过使用欧几里得算法解决给定a和m的情况下求解a关于m的最小乘法逆元的问题。详细解释了求解步骤，并提供了C++代码实现，帮助读者理解和应用这一数学原理。

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搞了一个下午的数论，终于看懂了。。。

题意：

就是给你a和m，然后让你求a关于m的最小乘法逆元。

思路：

这是一道模板题，直接用欧几里得算法来求最小乘法逆元就好了。

推理：

ax=1(mod m); 我们称x是a关于m的最小乘法逆元。相当于 a*x%m=1%m

那么(a*x-1)就必须是m的整数倍才行。所以我们设是m的y倍。

于是式子转化成： (a*x-1)=m*y;

那么 ax-my=1 要有解，相当于是 ax+my=1要有解，这里m如果是负的话，那么就写成正的好了，因为系数是没有关系的。

那么这个式子要有解的话，那么说明x和y一定是互素的，因为1必须是gcd(a,m)的整数倍才行。

然后x就是a关于m的乘法逆元了，那么如何保证它是最小的呢，我们首先要把x%m , 如果x是负数的时候，那么再加上m（如果m也是负的，那么就加上m的绝对值就好了）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 100010
int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int r=exgcd(b,a%b,x,y);			//!!
	int t=y;
	y=x-(a/b)*y;
	x=t;
	return r;
}
int main(){
	int T;
	while(~scanf("%d",&T)){
		while(T--){
			int a,m;
			int x,y;
			scanf("%d%d",&a,&m);
			int res=exgcd(a,m,x,y);		//这里还是写成m而不是-m，要不然求出来的gcd会有误。 
			if(res!=1){
				printf("Not Exist\n");
				continue;
			}
			int ans=x;
			ans=ans%m;
			if(ans<=0) ans+=m;
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
}
/*
3
3 11
4 12
5 13
*/