递归递推练习 F

代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
int dp ( int x , int y )
{
    if (y == 0 )
        return 1 ;
    else if (x == 1 )
        return 1 ;
    else if (y ==x )
        return 1 ;
    else return ( dp (x -1 ,y -1 )+ dp (x -1 ,y ));
}
int main ()
{
    int i ,j ,k ,m ,n ;
    cin >>k ;
    while (k --)
    {
        cin >>n >>m ;
        cout << dp (n ,m )<<endl ;
    }
}
分析:
注意根据提示找出递归结束条件,当y==0或者x==1或y==x的时候返回1;其他时候返回递归值即可;
### 蓝桥杯 Python 中递推递归的实现方法及例题解析 #### 什么是递归递归是一种函数调用自身的编程技术。它通常用于解决可以分解为更小子问题的问题。递归的核心在于定义一个基本情形(base case),使得递归能够终止并返回结果。 在 Python 中,由于缺乏尾递归优化 (Tail Call Optimization, TCO)[^2],递归可能会因为栈溢出而失败。因此,在设计递归算法时需要注意控制递归深度。 以下是递归的一个简单例子: ```python def factorial(n): if n == 0 or n == 1: # 基本情形 return 1 else: return n * factorial(n - 1) print(factorial(5)) # 输出 120 ``` --- #### 什么是递推递推是通过已知条件逐步计算后续值的一种方法。相比于递归递推不需要重复调用函数本身,而是利用循环或其他迭代方式完成计算。这种方法更加高效,尤其适用于大规模数据处理场景[^1]。 下面是一个使用递推求阶乘的例子: ```python def factorial_iterative(n): result = 1 for i in range(2, n + 1): # 利用循环逐步累乘 result *= i return result print(factorial_iterative(5)) # 输出 120 ``` --- #### 蓝桥杯中的递归应用实例 蓝桥杯竞赛中经常涉及经典的递归题目,例如汉诺塔问题、斐波那契数列等。以下是一个典型的汉诺塔问题实现: ```python def hanoi(n, source, target, auxiliary): if n == 1: # 基本情形 print(f"Move disk 1 from {source} to {target}") else: hanoi(n - 1, source, auxiliary, target) # 将前n-1个盘子移到辅助柱 print(f"Move disk {n} from {source} to {target}") # 移动第n个盘子到目标柱 hanoi(n - 1, auxiliary, target, source) # 将剩余盘子从辅助柱移到目标柱 hanoi(3, 'A', 'C', 'B') # 解决三个盘子的汉诺塔问题 ``` --- #### 蓝桥杯中的递推应用实例 递推常用于动态规划类问题,比如斐波那契数列或者特定序列的求和问题。以下是一个基于递推的斐波那契数列实现: ```python def fibonacci_recursive(n): if n <= 1: # 基本情形 return n return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2) # 使用递归计算斐波那契数列第10项 print(fibonacci_recursive(10)) def fibonacci_iterative(n): a, b = 0, 1 for _ in range(n): a, b = b, a + b # 迭代更新两个变量 return a # 使用递推计算斐波那契数列第10项 print(fibonacci_iterative(10)) ``` 上述代码展示了如何分别用递归递推两种方式实现相同的逻辑。显然,递推版本效率更高。 --- #### 经典练习题解析 以蓝桥杯的一道典型题目为例:求数列 `a/b` 的前 20 项之和。可以通过递推的方式快速解决问题[^3]。 **方法一:** ```python a = 2.0 b = 1.0 s = 0 for n in range(1, 21): s += a / b t = a a = a + b b = t print(s) ``` **方法二:** ```python a = 2.0 b = 1.0 s = 0.0 for n in range(1, 21): s += a / b b, a = a, a + b print(s) ``` 这两种方法均采用递推的思想,避免了递归可能带来的性能开销。 --- #### 性能对比 对于复杂度较高的问题,递归可能导致大量的冗余计算以及较大的内存消耗。相比之下,递推则更为简洁高效。然而,在某些情况下,递归可以使代码更具可读性和优雅性。 ---
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