D. Two Arithmetic Progressions

两数列交集计数

最新推荐文章于 2022-09-01 16:20:16 发布

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本文介绍一种算法，用于解决两个等差数列在指定范围内共有多少整数交集的问题。通过求解特定的线性方程组找到首个公共元素，并计算在给定区间内的交集数量。

You are given two arithmetic progressions: a1k + b1 and a2l + b2. Find the number of integers x such that L ≤ x ≤ R and x = a1k’ + b1 = a2l’ + b2, for some integers k’, l’ ≥ 0.
Input

The only line contains six integers a1, b1, a2, b2, L, R (0 < a1, a2 ≤ 2·109, - 2·109 ≤ b1, b2, L, R ≤ 2·109, L ≤ R).
Output

Print the desired number of integers x.
题意： x = a1k’ + b1 = a2l’ + b2, 有L ≤ x ≤ R ，且k’, l’ ≥ 0。问符合条件的x 有多少个。
a1k- a2l = b2-b1; 求出一组（k,l），并求出第一组解（k0>=0,l0>=0）,此时对应一个最小的x。通解为 k = k0 + -a2/gcd(a1,-a2)t , 则 x = a1(k0 + -a2/gcd(a1,-a2)*t ) + b1;
可以发现 x增值为 -a1*a2/gcd(a1,-a2) = lcm(a1,a2)，所以求出第一个x点后，在算区间有多少个 lcm就好。

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL q=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}

void minial(LL& x, LL& y,LL k1, LL k2){
     LL t = x/k1;
     x -= t*k1, y -= t*k2;
     if( x < 0){
        x += k1, y+=k2;
     }
    // cout<<x<<" "<<y<<endl;
     if( y < 0){
        t = y/k2;
        x -= t*k1, y -= t*k2;
        if( y < 0){
        x += k1, y+=k2;
        }  
     }
}
LL cal(LL l, LL r, LL lcm){
    if(l > r) return 0;
    LL ans = (r-l)/lcm + 1;
    return ans;
} 

int main(){
    LL a1,b1,a2,b2,l,r;
    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld",&a1,&b1,&a2,&b2,&l,&r);
    LL ans = 0, x, y;
    if(b2 < b1) {
        swap(b2,b1);
        swap(a1,a2);
    }
    LL A = a1, B = -a2 , C= b2-b1;    // a1x - a2y = b2-b1;
    long long gcd = ex_gcd(A,B,x,y);  // Ax + By = C 
    if(gcd < 0){
        gcd = -gcd, x = -x, y = -y;
    }
    if(C%gcd !=0){
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    else{
        x = C/gcd*x, y = C/gcd*y; // 一组解
        LL k1 = B/gcd, k2 = A/gcd;
        if(k1<0) k1 = -k1;
        if(k2<0) k2 = -k2;
        minial(x,y,k1,k2);  // 第一组 x>=0 y >=0 的解 
        LL d = a1*x + b1;
        ans = cal(d,r,A*k1) - cal(d,l-1,A*k1);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}