三分查找

最新推荐文章于 2024-12-19 20:31:37 发布

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文章标签：算法

原文链接：https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6536414.html

本文深入讲解三分查找算法，一种在凸性或凹性函数中快速定位最值的高效方法。通过对序列进行三次划分，三分查找能更精确地逼近目标值。文章详细介绍了三分查找的概念、算法过程及其实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

三分查找

出处：从零基础学三分查找

简单点说二分是查找区间，相当于一次函数，三分就是二次函数了，求它的极值，怎么做，数学常用的是求导，计算机就用查找咯，那么请看下面的简单概述吧！

一. 概念

在二分查找的基础上，在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为三分查找，也就是三分法。

三分查找通常用来迅速确定最值。

二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一定严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找。

与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是：序列为一个凸性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左侧序列，必须满足不严格单调递增（递减），右侧序列必须满足不严格单调递减（递增）。如下图，表示一个有最大值的凸性函数：

在这里插入图片描述

二、算法过程

（1）、与二分法类似，先取整个区间的中间值mid。

         mid = (left + right) / 2;

（2）、再取右侧区间的中间值midmid，从而把区间分为三个小区间。

         midmid = (mid + right) / 2;

（3）、我们mid比midmid更靠近最值，我们就舍弃右区间，否则我们舍弃左区间。

比较mid与midmid谁最靠近最值，只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时，mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。

         if (cal(mid) > cal(midmid))       
             right = midmid;  
         else       
             left = mid;

（4）、重复（1）（2）（3）直至找到最值。
（5）、另一种三分写法

double three_devide(double low,double up)
{
    double m1,m2;
    while(up-low>=eps)
    {
        m1=low+(up-low)/3;
        m2=up-(up-low)/3;
        if(f(m1)<=f(m2))
            low=m1;
        else
            up=m2;
    }
    return (m1+m2)/2;
}

算法的正确性：

1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值（最小值）任意一侧都具有单调性，因此，mid与midmid中，更大（小）的那个数自然更为靠近最值。此时，我们远离最值的那个区间不可能包含最值，因此可以舍弃。

2、mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间，因此我们舍弃一个区间后，并不会影响到最值

const double EPS = 1e-10;

double calc(double x)
{
    // f(x) = -(x-3)^2 + 2;
    return -(x-3.0)*(x-3.0) + 2;
}

double ternarySearch(double low, double high)
{
    double mid, midmid;
    while (low + EPS < high)
    {
        mid = (low + high) / 2;
        midmid = (mid + high) / 2;
        double mid_value = calc(mid);
        double midmid_value = calc(midmid);
        if (mid_value > midmid_value)
            high = midmid;
        else
            low = mid;
    }
    return low;
}

调用ternarySearch(0, 6)，返回的结果为3.0000

我们都知道二分查找适用于单调函数中逼近求解某点的值。
如果遇到凸性或凹形函数时，可以用三分查找求那个凸点或凹点。
下面的方法应该是三分查找的一个变形。

如图所示，已知左右端点L、R，要求找到白点的位置。
在这里插入图片描述

思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近白点。
做法：先取 [L,R] 的中点 mid，再取 [mid,R] 的中点 mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。

当最后 L=R-1 时，再比较下这两个点的值，我们就找到了答案。
1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。
反证法：假设 mmid 在白点的左边，则 mid 也一定在白点的左边，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。
所以，此时可以将 R = mmid 来缩小范围。

2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在白点的左边。
反证法：假设 mid 在白点的右边，则 mmid 也一定在白点的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。
同理，此时可以将 L = mid 来缩小范围。

int SanFen(int l,int r) //找凸点
{
    while(l < r-1)
    {
        int mid  = (l+r)/2;
        int mmid = (mid+r)/2;
        if( f(mid) > f(mmid) )
            r = mmid;
        else
            l = mid;
    }
    return f(l) > f(r) ? l : r;
}