动态规划：0-1背包问题

0-1背包问题

以下是我对0-1背包问题的理解与分析（包含代码）

import java.util.Scanner;
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        // TODO 自动生成的方法存根
        System.out.println("请输入物品的个数n：");
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        System.out.println("输入背包的重量c：");
        int c=sc.nextInt();
        int w[]=new int[n];
        System.out.println("请依次输入物品重量:");
        for(int i=0;i<n;i++)
            w[i]=sc.nextInt();
        System.out.println("请依次输入物品价值：");
        int v[]=new int[n];
        for(int i=0;i<n;i++)
            v[i]=sc.nextInt();
        int m[][]=new int[n][c+1];
        int x[]=new int[n];
        knapsack(v,w,c,n-1,m);  //注意此处一定要为n-1（因为数组的下标从0开始，最后一个元素的位置为n-1）
        traceback(m,w,c,n-1,x);
        for(int i=0;i<n;i++)
            System.out.print(x[i]+" ");
    }
    public static void knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[][])
    {//数组v存储各物品的价值，数组w存储各物品的重量，数组m存储背包存储物品时的最优值
        //c表示背包的最大容量，n表示一共有多少个物品
        int jmax=min(w[n]-1,c);
        for(int j=0;j<=jmax;j++)    //背包全空时，对第一个物品做选择（选择第n个物品到第n个物品时的情况）
            m[n][j]=0;  //小于该物品重量的位置全填0（即不选择该物品）
        for(int j=w[n];j<=c;j++)
            m[n][j]=v[n];//大于等于该物品重量的位置填上该物品的价值，即选中该物品，这是选择第一个物品的最优解
        for(int i=n-1;i>=0;i--) //选择两个物品，三个物品，所有物品时的情况（选择第i个物品到第n个物品时的情况）
        {
            jmax=min(w[i]-1,c);
            for(int j=0;j<=jmax;j++)
                m[i][j]=m[i+1][j];
            for(int j=w[i];j<=c;j++)
                m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]); //判断是否选择该物品（即判断选择与不选择哪个是最优解）
        }
    }

    public static void traceback(int m[][],int w[],int c,int n,int x[])
    {//前四个参数同上一个方法，x用于存储是否选择该各物品（为1代表选择，为0代表不选择）
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(m[i][c]==m[i+1][c])  //如果数组m中第c（背包剩余容量）列第i行（第i个物品到第j个物品做选择的行）存储的
                x[i]=0;     //的数等于m数组中第i+1行第c列的数，则表示该物品（第i个物品）没有被选中
            else        //代表该物品（第i个物品）被选中
                {
                    x[i]=1;
                    c=c-w[i];
                }
        }
        if(m[1][c]==0)
            x[n]=0;
        else
            x[n]=1;
    }
    public static int  min(int i,int j)
    {
        if(i<=j)
            return i;
        else
            return j;
    }
    public static int max(int i,int j)
    {
        if(i>=j)
            return i;
        else
            return j;
    }
}