32、用于控制的平衡模型

用于控制的平衡模型

1. 高维系统与降阶模型

许多实际系统具有极高的维度，这使得对它们进行特征描述变得困难。高维度还会因显著的计算时间延迟而限制控制器的鲁棒性。例如，流体动力学的控制方程在离散化后可能有数百万甚至数十亿个自由度，导致模拟成本高昂。因此，人们致力于获取能够捕捉最相关机制且适用于反馈控制的降阶模型。

与基于本征正交分解（POD）的降阶模型不同，这里将讨论一类平衡降阶模型，它采用不同的内积根据输入 - 输出能量对模式进行排序。这样，只有那些既具有高可控性又具有高可观测性的模式才会被选中，使平衡模型非常适合控制应用。

2. 模型降阶与系统识别

在许多非线性系统中，仍然可以使用线性控制技术。例如，在流体动力学中，基于线性模型的流动控制有许多成功案例，如延迟空间发展边界层中从层流到湍流的转变、减少壁面湍流中的表面摩擦阻力以及稳定通过开口腔的流动等。然而，许多线性控制方法在处理大状态空间时效果不佳，并且在短时间尺度上进行实时控制时成本可能过高。因此，通常需要为系统开发低维近似模型，以用于实时反馈控制。

获取降阶模型（ROM）有两种主要方法：
- 从高维系统投影 ：从高维系统（如离散化的纳维 - 斯托克斯方程）开始，将动力学投影到低维子空间。可以使用本征正交分解（POD）和伽辽金投影等方法，还有离散经验插值法（DEIM）、间隙POD、平衡本征正交分解（BPOD）等多种变体。
- 数据驱动的系统识别 ：从模拟或实验中收集数据，并使用数据驱动技术识别低秩模型。这种方法通常称为系统识别，由于其相对易于实现，常用于控制设计。例如动态模式分解（DMD）