组合数学与算法问题解析

1、六名棋手参加一场锦标赛。如果允许两人平局，但不允许超过两人平局，那么最终排名有多少种可能？

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2、设f(n)为用尺寸为1×1的红色和蓝色瓷砖，以及尺寸为1×2的黑色、白色和黄色瓷砖来平铺一个1×n矩形的方法数。求这些数f(n)的普通生成函数，然后求出这些数的显式公式。

普通生成函数 $ F(x) = \frac{1}{1 - 2x - 3x^2} $，显式公式 $ f(n) = \frac{3^{n+1} + (-1)^n}{4} $

3、设 $h_n$ 是 $[n]$ 的划分的数量，其中每个块包含的元素不超过三个。求序列 ${h_n}$ 的指数生成函数。

使用指数生成函数的复合公式计算
$$ H(x) = \sum_{n\geq0} h_n \frac{x^n}{n!} $$

令 $ a_k $ 满足当 $ 1 \leq k \leq 3 $ 时，$ a_k = 1 $，否则 $ a_k = 0 $，则
$$ A(x) = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} $$

由于块要进行线性排序，$ b_m = m! $，所以
$$ B(x) = \sum_{m\geq0} m! \frac{x^m}{m!} = \frac{1}{1 - x} $$

根据复合公式可得
$$ H(x) = B(A(x)) = \frac{1}{1 - \left(x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}\right)} $$

4、判断对错：(a) 如果我们移除树的一些边（但保留所有顶点），那么我们得到一棵树。(b) 如果我们移除森林的一些边（但保留所有顶点），那么我们得到一个森林。(c) 如果我们给树添加一些边（但不添加新顶点），我们永远不会得到一棵树。(d) 如果我们给树添加一些边（但不添加新顶点），我们永远不会得到一个森林。

(a) 错误；(b) 正确；(c) 正确；(