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RSS订阅原创 图论 最短路（3）建图技巧
本文介绍了两种重要的图论建图技巧：差分约束系统和分层图。差分约束系统通过将不等式转化为有向边来建立图模型，用于求解N元一次不等式组，若图中存在负环则无解。分层图则将动态规划思想引入图论，通过状态分层来解决问题，如例题"飞行路线"通过建立k+1层图来模拟免费乘坐次数的状态转移。文章通过具体例题展示了两种技巧的应用，包括洛谷P1993、P2294和P4568，并提供了相应的C++实现代码。这些技巧能够有效解决特定类型的最短路径问题。
2025-07-18 14:29:24
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原创 图论 最短路（2）多源最短路
Floyd算法是一种经典的多源最短路算法，通过动态规划思想求解图中任意两点间的最短路径，时间复杂度为O(n³)。该算法使用邻接矩阵存储图结构，通过三重循环实现状态转移。文章详细介绍了Floyd算法的原理、实现模板及其应用场景，包括负权环检测、最小环求解和传递闭包问题。此外，还介绍了Johnson算法作为处理负权图的替代方案，通过建立超级源点和重赋权值将负权图转化为正权图，再利用Dijkstra算法求解。两种算法各有适用场景，Floyd适合稠密图，Johnson则更适合处理含负权的稀疏图。
2025-07-17 16:23:43
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原创 图论 欧拉图
本文介绍了欧拉图的基本概念和算法。欧拉回路指通过图中每条边恰好一次的回路，而欧拉通路是通过每条边恰好一次的通路。无向图是欧拉图当且仅当非零度顶点连通且所有顶点度数为偶数；有向图则需满足强连通且入度等于出度。文章还介绍了半欧拉图的判定条件，并详细讲解了Hierholzer算法求解欧拉回路的原理和实现步骤，包括DFS遍历和边处理过程。最后通过"骑马修栅栏"和"项链复原"两个例题展示了算法应用，重点强调了需要先判断图是否满足欧拉图条件再实施算法。
2025-07-17 13:35:08
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原创 图论 最短路（1） 单源最短路
摘要：本文介绍了单源最短路问题（SSSP）及其两种主要算法。首先阐述了松弛操作的核心思想，即通过不断更新节点最短距离来求解最短路。然后详细讲解了Bellman-Ford算法，该算法通过n-1轮边松弛操作求解最短路，时间复杂度O(nm)，并能检测负权环。接着讲解了Dijkstra算法，它采用贪心策略，每次选择距离最小的节点进行松弛，适用于无负权边的图，使用优先队列优化后时间复杂度为O(mlogm)。文章包含算法原理、实现代码和示例说明。
2025-07-16 22:04:48
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原创 图论 最小生成树 MST问题
本文介绍了最小生成树的概念及其两种主要算法。最小生成树是指包含图中所有顶点且边权和最小的子图。文章首先阐述了最小生成树的性质定理，证明最小生成树必然包含原图权值最小的边。然后详细讲解了Kruskal算法（基于贪心思想和并查集实现）和Prim算法（基于维护点集实现）的原理及实现过程，包括Prim算法的二叉堆优化版本。最后比较了两种算法的适用场景：Kruskal适用于稀疏图，Prim更适合稠密图。文章提供了清晰的算法描述和代码示例，帮助读者理解最小生成树问题的解决方法。
2025-07-14 20:33:00
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原创 进阶数据结构 并查集
摘要：并查集是一种高效管理元素集合的数据结构，支持查询与合并操作。其核心思想是将元素组织为森林结构，通过路径压缩和启发式合并优化，使时间复杂度接近常数。存储方式是用数组fa[x]记录每个元素的父节点。路径压缩优化在查询时将节点直接指向根节点，而启发式合并则优先合并较小集合。进一步扩展包括边带权并查集（维护节点到根的权值）和扩展域并查集（处理多类关系）。应用。
2025-07-13 12:40:39
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原创 进阶数据结构 树状数组
树状数组是一种高效的数据结构，基于二进制分解思想，通过lowbit运算实现O(logN)的区间查询和单点修改。相比线段树，它代码更简洁、常数更小，适合处理单点修改需求高的场景。树状数组利用正整数二进制分解的唯一性，将区间划分为多个小区间进行维护，要求维护的信息具有结合律和可差分性。基本操作包括区间查询和单点修改，通过权值树状数组等变形可解决逆序对等问题。其核心在于利用lowbit划分区间，构建树形结构，使深度保持在O(logN)级别。
2025-07-11 23:21:02
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原创 二分算法原理及实现 详解
二分查找（Upper）代码在数组aaa中查找≤x\le x≤x的数中的最后一个（即xxx或xxx的前驱）。对比数据示例：输出333int main()return 0;upper_bound() STL函数该函数查找第一个x> xx的数，其他用法与一样。注意，该函数与上述代码并不等价。对比数据示例：输出444int main()return 0;
2025-07-09 21:09:49
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空空如也
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